Lograr la norma de un ideal en un campo numérico por la norma de un elemento

Question

Sea $K$ un campo numérico de grado $n$ y $\mathfrak{a}$ un ideal en su anillo de enteros $\mathcal{O}_K$. Podemos considerar:

• La norma $N(\mathfrak{a})$ de $\mathfrak{a$.
• Las normas $N(x)$ de los elementos $x\in\mathfrak{a}$.

Es bien sabido que:

1. Para todo $x\in\mathfrak{a}$, $N(\mathfrak{a})|N(x)$, entonces $\lvert N(x) \rvert \ge N(\mathfrak{a})$
2. $N(\mathfrak{a})\in\mathfrak{a}$
3. Por el punto 2., $\mathfrak{a}$ contiene un elemento de norma $N(\mathfrak{a})^n$.

Pero ¿existe un elemento $x\in\mathfrak{a}$ tal que precisamente $$\lvert N(x) \rvert =N(\mathfrak{a})\ ?$$

Answer 1

Esto sucede si y solo si $\mathfrak a$ es un ideal principal. Una dirección es fácil si sabes que $N(\mathfrak (x)) = \lvert N(x) \rvert$ para todo $x \in \mathcal O_K$ (el lado izquierdo es la norma del ideal principal). Para la otra dirección, deja que $x \in \mathfrak a$ con $\vert N(x) \rvert = N(\mathfrak a)$. Entonces, el índice $[ \mathfrak a : (x) ]$ es igual a $\frac{N(\mathfrak a)}{\lvert N(x) \rvert} = 1$ (algún teorema de isomorfismo te dice que $\mathcal O_K / \mathfrak (x) \cong (\mathcal O_K / \mathfrak a)/(\mathfrak a / (x))$ . Por lo tanto, $(x) = \mathfrak a).

Answer 2

Tenemos $\langle N(x) \rangle = N(\langle x \rangle)$, por lo que un contraejemplo tendría que venir de un no-DIP.

El ejemplo habitual de tal cosa es $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, así que probémoslo. El ideal primo que yace sobre $2$ es $\langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$, y tiene norma $\langle 2 \rangle$.

Sin embargo, $N(a + b \sqrt{-5}) = a^2 + 5 b^2$, lo cual claramente nunca puede ser igual a $2$ o $-2$.

Answer 3

Si y solo si $\mathfrak{a}$ es principal. Tenga en cuenta que la norma del ideal generado por $x$ es la misma que la norma de campo de $x$. Así que $$ N(x) = N(\mathfrak{a}) \Longleftrightarrow N(x\mathcal{O}_K) = N(\mathfrak{a})\\ $$ Pero como $x \in \mathfrak{a}$, tenemos $x\mathcal{O}_K \subseteq \mathfrak{a}$. Dado que las normas son iguales, esto obliga a $x\mathcal{O}_K = \mathfrak{a}.