Demuestre que la suma directa de un núcleo de una proyección y su imagen crean el espacio vectorial de origen.

Question

Tengo la siguiente pregunta como tarea.

Dado $V$ es un espacio vectorial con $P \in \operatorname{End} V$ . $P \circ P = P$ ( "P es idempotente" ). Demostrar que $V = \operatorname{Ker} P \oplus \operatorname{Im} P$ .

Una $P$ Lo que puedo imaginar es una proyección del espacio 3d al plano, que simplemente pone algunas coordenadas a cero. Por ejemplo $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x \\ y \\ 0\end{pmatrix}$ . Entonces $\operatorname{Ker} P$ daría la línea $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z\end{pmatrix}$ y $\operatorname{Im} P$ contendría todos los $\begin{pmatrix}x \\ y \\ 0\end{pmatrix}$ . Así que el resultado de $\operatorname{Ker} P \oplus \operatorname{Im} P$ es por supuesto $V$ .

Pero, ¿cómo puedo demostrarlo de forma matemática?

Answer 1

Toma $x \in V$ . Desde $P=P^2$ debemos tener $Px=P^2x$ y así $P(x-Px)=0$ . Por lo tanto, $x-Px=\xi$ para algunos $\xi \in \operatorname{Ker}P$ . Así, $x = Px + \xi$ . Esto demuestra que $V=\operatorname{Im}P + \operatorname{Ker}P$ . Ahora toma $y \in \operatorname{Im}P \cap \operatorname{Ker}P$ . Desde $y \in \operatorname{Im}P$ tenemos $y=Pz$ para algunos $z \in V$ . Aplicando $P$ a ambos lados obtenemos $Py=P^2z$ . Pero $y \in \operatorname{Ker}P$ Por lo tanto $0=Py=P^2z=Pz=y$ . Esto demuestra que $\operatorname{Im}P \cap \operatorname{Ker}P=\{0\}$ y así tenemos $V=\operatorname{Im}P \oplus \operatorname{Ker}P$ .

Answer 2

Una pista: $V = \operatorname{Ker}P \oplus \operatorname{Im}P$ si cada $v\in V$ tiene una representación única como $v = u+w$ para algunos $u \in \operatorname{Ker}P, w \in \operatorname{Im}P$ (Si no lo has visto ya, no es muy difícil de probar).

¿Cómo se puede encontrar esa expresión para el general $v$ ?