¿Hay cualquier extensión de la noción habitual de cardinalities de conjuntos tales que hay algunos juegos con cardinalities fracciones como 5/2, es decir un conjunto con elementos de 2,5, lo que sería un ejemplo de tal sistema?
¿Básicamente existe ninguna teoría consistente donde hay un conjunto cuya cardinalidad es menor que la de {gato, perro, peces} pero mayor que la de {47,83}?
Se puede ampliar la noción de cardinalidad para incluir negativos y valores no enteros, mediante el uso de la característica de Euler y homotopy cardinalidad. Por ejemplo, el espacio finito de conjuntos tiene homotopy cardinalidad $e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dotsi$. La idea es la suma de cada conjunto finito, a la inversa ponderada por el tamaño de su grupo de simetría. Juan Báez explica esto en detalle en su blog. Él tiene un montón de referencias, así como apuntes, notas del curso, y los posts de blog sobre el tema aquí. La primera frase en los enlaces de esta página:
"Todos sabemos lo que significa para un conjunto a tiene 6 elementos, ¿pero qué clase de cosas se ha -1 elementos, o 5/2? Lo creas o no, estas preguntas tienen buenas respuestas". -Baez
No hay ninguna noción de una fracción de un elemento en ZF. Sin embargo, sin el axioma de elección se puede tener un modelo en el que hay un conjunto de cardenales isomorfo a los números reales.
¿Qué significa eso? Esto significa que no es una familia de conjuntos de cardinalidad y la continuidad de las cardinalidades de los conjuntos en esta familia ordenó como los números reales.
La razón por la que esto sucede es que cardinalidades en la noción usual de la teoría de conjuntos contar el número de elementos. Cada elemento puede estar en el conjunto o no en el conjunto. No se puede tener un valor parcial. Si uno quiere que el $\in$ respecto a tener valores fraccionarios uno tendría que ir a la lógica difusa, la continua lógica o Booleana valores de la lógica.
Que ha dicho que tengo que admitir que al final de mi primer año he tratado de desarrollar la noción de fracciones de cardinalidad, hasta cierto punto creo que lo que hice. Sin embargo, fue completamente inútil más tarde, y no era nada más que un juego, que ahora sé cómo desarrollar el uso de otras y mejores herramientas.
Sí, no hay. Si usted hace esto en el contexto de la teoría de conjuntos difusos (una posible manera de extender cosas), existen dos diferentes nociones de cardinalidad. Hay todo un libro sobre la cardinalidad de conjuntos difusos la teoría de la realidad. Escalar la cardinalidad es el concepto relevante aquí.
Un posible ejemplo de un conjunto de considerar el conjunto de sus ocho amigos más cercanos en el set de "la gente de altura" (o el "Ocho" en su página de MySpace si usted tuvo una hace un par de años. Me gustaría, al menos, supongo que tendrás fraccional "grados de pertenencia" para cada persona en el set de "la gente de altura", como dice una de 6 pies de persona, yo esperaría, usted podría considerar la posibilidad de que sólo un poco de altura y por lo tanto quizás clasificar como .8 de altura o algo así. E. G. decir que tengo amigos de Bob, Sally, Sue, Steve, Chris, John, Elmer, y Guido, con grados de pertenencia en el conjunto de las personas altas de .3, .5, .6, .2, .86, .35, .6, y .1 respectivamente. Entonces, luego de escalar la cardinalidad del conjunto de mis amigos en el conjunto de la gente de altura es igual a 3.51 una posible 8.0.
Como otro ejemplo, ir a la habitación donde usted tiene la mayoría de los libros en su casa. Encontrar la forma más común de la portada del libro de color, donde cada libro se le asigna uno de {rojo, azul, verde, cian, magenta, amarillo}. Consideremos ahora cada libro de acuerdo a como rojo/azul/verde/cyan/magenta/amarillo que libro es. Así, una cubierta de un libro puede tener un grado de pertenencia de 6. en la serie de libros rojos, y otro .1 grado de pertenencia. Finalmente, la suma de todos estos juntos, y al menos en un montón de casos en el conjunto de decir que el libro rojo de las cubiertas en que sala tiene un no-número natural por su cardinalidad.
En mi opinión, si usted piensa acerca de las cosas en términos de "¿qué tan bien x ajuste con y", no es tan difícil encontrar ejemplos del mundo real que establece con fracciones de escalar cardinalidades (o, más en general NO es difícil encontrar conjuntos difusos). En mi opinión, realmente viene lo más difícil de encontrar en el mundo real conjuntos con número natural cardinalidades, pero tengo casi seguramente comenzó a divagar.
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