Pero, ¿por qué?

Question

$\sqrt{x}$$\sqrt{x}$ = $x$ but $\sqrt{x^2}$ = $|x|$. ¿Por qué es esto?

Apenas estoy aprendiendo álgebra otra vez después de muchos años y parece que no puedo averiguar por qué. Estoy seguro de que esto es trivial pero si alguien pudiera explicarme ayudaría mucho. ¡Gracias!

Answer 1

Creo que el origen de la confusión que aquí se trata de pensar en la $\sqrt{x}$ como un número en lugar de una función. Muchas veces, podemos escribir algo como $\sqrt{x}$ para denotar la squareroot(s) de la número $x$. Sin embargo, en muchas otras situaciones, también escribiremos $\sqrt{x}$ a hablar acerca de la función que envía el número de $x$ a su raíz cuadrada.

En particular, en su ejemplo, en primera instancia,$\sqrt{x}\sqrt{x} = x$, es más probable hablando sobre el número de $\sqrt{x}$. De hecho, por la definición del número de $\sqrt{x}$, tenemos que la ecuación.

En la segunda instancia, $\sqrt{x^2} = |x|$, es más apropiado pensar acerca de $\sqrt{x}$ como una función, que se compone con la función de $x^2$. En ese caso, $\sqrt{x}$ debe ser estrictamente positivo, ya que no hay números reales cuyas raíces cuadradas son negativos!

Answer 2

Por definición, $\sqrt x$ es la única no-número real negativo $y$ tal que $y^2=x$, lo $\sqrt x\cdot\sqrt x=x$ es verdad por definición.

Ahora aplicar la definición a $\sqrt{x^2}$: $\sqrt{x^2}$ es la única no-número real negativo $y$ tal que $y^2=x^2$. Si $x=0$, el único número real cuyo cuadrado es$x^2$$0$, así que por supuesto $\sqrt{x^2}=0=|0|$. Si $x\ne 0$, siempre hay dos números reales $y$ tal que $y^2=x^2$: uno de ellos es $x$, y el otro es $-x$. Exactamente uno de estos dos es positivo. Ya no sabemos si $x$ es positivo o no, no sabemos cual de ellos es positivo, pero sabemos que lo es, es $|x|$. Por lo tanto, $|x|$ es el único número real positivo tal que $|x|^2=x^2$, y, por definición,$\sqrt{x^2}=|x|$.

Como un ejemplo, supongamos que $x=-3$. A continuación,$x^2=9$, y la de dos números reales cuyos cuadrados son $9$ $-3$ (es decir, $x$) y $3$ (es decir, $-x$). La no-negativa es $3=-(-3)=|-3|$. Había empezamos con $x=3$, $x^2$ habría sido todavía $9$, y aún estaríamos han querido que el positivo de $x$$-x$, pero esta vez sería $x$, no $-x$. Es cierto, sin embargo, que el $|x|=|3|=3$, la que queremos.