Esto es (probablemente) la pregunta más importante en la geometría diferencial.
Hay varias definiciones de la curvatura de Gauss, incluyendo la de Gauss original (muy diferente de la suya, él se define a través de la 2ª forma fundamental, que no es intrínseca, haciendo parecer bastante sorprendente que $K$ es una característica intrínseca de la cantidad).
Algunas definiciones de $K$ son más geométricamente satisfacciones e intuitiva, pero difícil de trabajar (calcular en los ejemplos), otros son más abstracto y misterioso, pero más fácil de trabajar, como la que le dio (probablemente el más fácil trabajar con ella, utilizando el formalismo de movimiento marcos, como el desarrollado por Cartan y Chern). El coordinar las fórmulas que usted encontrará en cualquier moderno libro de texto estándar, como Kobayashi-Nomizu, también son útiles, pero igualmente misteriosas.
Una manera de difundir algunos de el misterio es para ver algunas de las alternativas más definiciones conceptuales. Como regla general, el más definiciones conceptuales decir que el valor de la curvatura de la función de $K$ a un punto de $p$ sobre una superficie puede ser expresado como un límite de una combinación de fáciles de captar cantidades geométricas (área, longitud, ángulos). Por el contrario, la curvatura de la función de $K$ permite, a través de la integración, para recuperar la propiedad geométrica que dio origen a $K$.
El proceso de la digestión de la materia se compone de todas estas de ida y vuelta se mueve entre lo abstracto y lo concreto, lo formal y lo intuitivo, lo que demuestra la equivalencia de las distintas definiciones y comprobación de las mismas en algunos de los principales ejemplos (que a los maestros y a los buenos libros de texto debe de suministro).
Por lo demás, a continuación, estas observaciones generales, lo que puedo ofrecer en este foro es una lista de algunos de los más intuitiva definiciones alternativas de la curvatura. Usted puede tratar de demostrar su equivalencia con su definición (no va a ser fácil, usted debe obtener ayuda de los libros y los maestros).
(1) el Área y la circunferencia de la geodésica discos. Para un disco de radio $r$ en el plano euclidiano su circunferencia y el área está dada por $C_0(r)=2\pi r$, $A_0(r)=\pi r^2.$ Ahora tome una geodésica disco de radio $r$ centrada en algún punto de $p$ de una superficie de riemann (es decir, el conjunto de puntos sobre la superficie cuya distancia formulario de $p$ es en la mayoría de las $r$), denotan su circunferencia por $C(r)$ y su área por $A(r)$ y escribir $\Delta A=A(r)-A_0(r)$ $\Delta C=C(r)-C_0(r)$ como una potencia de la serie en $r$. Entonces, la 1ª no de fuga términos en cualquiera de estas dos series le $K(p)$.
(2) De Gauss-Bonnet. La suma de los (interior) los ángulos de un triángulo en el plano euclidiano es $\pi$. En general la superficie de la suma de los ángulos es $\pi+\delta,$ donde $\delta$ es la integral de la $K$ sobre el triángulo.
(3) transporte Paralelo. Inicio en $p$ y caminar una distancia $\epsilon$ a lo largo de una geodésica en alguna dirección. Llame el punto de llegar a $p_1$. Gire a la izquierda $90^0$ $p_1$ y volver a mover una distancia $\epsilon$. Llame el nuevo punto de $p_2$. Repetir y conseguir $p_3$,$p_4$. Si usted se encuentra en el plano euclidiano, a continuación,$p_4=p$, pero en general son algunas de distancia $d(\epsilon)$ desde su punto de partida ($d$ podría también dependen de la dirección inicial). De nuevo, si usted escribe $d^2$ como una potencia de la serie en $\epsilon$, entonces, la 1ª no desapareciendo término da $K(p)$.
(4) a la Rodadura. Dibujar un poco simple circuito cerrado de área $A$, empezando y terminando en $p$. Tome un pedazo de (plana) cartón y dibuja una flecha. A continuación, alinee el cartón con el plano tangente a $p$, de forma que la flecha está apuntando en una dirección paralela a la dirección inicial del bucle en la superficie. Ahora coloque el cartón a lo largo del bucle, sin resbalar o de torsión. Cuando el cartón está de vuelta para el plano tangente a $p$, la dirección de la flecha de la caja de cartón se forma un cierto ángulo respecto a su dirección inicial.
Si usted escribe este ángulo como una función de $A$, el 1 significativos término da $K(p).$
(5) Divergentes geodesics. Si le disparamos dos partículas $p$ a lo largo de dos diferentes geodesics, a la misma velocidad, entonces la distancia entre ellos, si estábamos en el avión, crece linealmente con el tiempo. En general la superficie de la distancia crecerá más lento o más rápido, a continuación, lineal, y el 1 concepto importante en la expresión que describe esta divergencia da $K(p).$
Tal vez algunos otros participantes de este foro podría aportar más elementos a esta lista.
