Quiero entender la integrabilidad uniforme en términos de integración de Lebesgue

Question

Según mi libro de texto de Análisis Real, una familia $\scr{F}$ de funciones medibles sobre $E$ se dice que es uniformemente integrable sobre $E$ para cada $\epsilon$ $>$ $0$ hay un $\delta$ $>$ $0$ tal que para cada $f$ $\in$ $\scr{F}$ si $A$ $\subseteq$ $E$ es medible y $m(A)$ $<$ $\delta$ entonces $\int_{A}$$ |f| $ $ < $ $ \epsilon$. Está bien, pero mi libro de texto no da buenos ejemplos ni contraejemplos. Estoy estudiando para un examen final de Análisis Real, y me gustaría tener alguna información sobre ejemplos o contraejemplos de integrabilidad uniforme de funciones integrables de Lebesgue. Gracias.

Answer 1

Puede encontrar más ejemplos de funciones UI y no UI en los libros de probabilidad. Pero la definición allí es diferente, y no equivalente a la tuya (aunque con ideas similares).

He aquí algunos ejemplos que puede encontrar/adaptar Wikipedia . Todavía tienes que probarlos porque la definición allí es diferente.

1. Cualquier conjunto finito de funciones integrables de Lebesgue es U.I. (debido a la continuidad absoluta de la integral).
2. Cualquier familia delimitada por un $L^1$ función: $\{f\in L^1: |f|\le g\}$ donde $g\in L^1$ es U.I.
3. $\{f\in L^p:\|f\|_{L^p}\le C\}$ con $p>1$ es U.I. (debido a la desigualdad de Holder)

Los ejemplos de familias no estadounidenses no deberían ser demasiado difíciles. Se puede construir una secuencia de funciones con la "masa" cada vez más concentrada. Por ejemplo, consideremos la familia de funciones $\{f_n(x)=n \mathbf{1}_{[0,\frac{1}{n}]}:n=1,2,\cdots\}$ . Es fácil usar tu definición para demostrar que esta familia no es U.I. (Pero es U.I. en el sentido definido en la teoría de la probabilidad, que puedes encontrar en Wikipedia).

Answer 2

A riesgo de ser insultante lo reformularé como lo hacen en la clase de introducción a las pruebas.

Al igual que la noción de "convergencia uniforme" o "continuidad uniforme", significa que, a medida que nos desplazamos por el conjunto, las cosas sólo cambian de forma acotada.

Si sabemos que una familia $\mathscr{F}$ es uniformemente integrable sobre $E$ eso significa que si me dices un tamaño, por pequeño que sea, puedo decirte lo pequeño que es un subconjunto de $E$ hay que elegirla de forma que la integral sobre ella sea despreciable para cualquier función en $\mathscr{F}$ .

Significa que las funciones en tu familia no se hacen demasiado grandes en ningún sitio a medida que vas recorriendo tu familia. La familia es "uniforme".

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Con esta intuición podemos llegar a un ejemplo de conjunto no uniformemente integrable:

Considere la familia $\mathscr{F}$ que contiene la secuencia de funciones $(f_n)$ en $[0,1]$ donde: $$f_n(x):=\left\{\begin{array}{ll}n & x\in\left[0,\frac{1}{n}\right]\\ 0 & \text{otherwise}\end{array}\right. .$$

Arreglar algunos pequeños $\varepsilon>0$ . No importa el tamaño $\delta>0$ que elijamos, siempre podremos encontrar un conjunto $A$ donde para algunos $h\in\mathscr{F},\ \int_A |h| \ dx >\varepsilon.$ En particular, elija $A=[0,\delta]$ y $h=f_N,$ para cualquier $N>\frac{100}{\delta}.$ Ahora que la integral es al menos $100.$

Así que por pequeño (pero positivo) que sea el tamaño que elijamos, podemos encontrar algún lugar en $\mathscr{F}$ donde la función es grande allí.