Mostrar que $\displaystyle \sum_{k \ge 0}\frac{1}{k^2+k-\alpha} = \frac{\pi}{\sqrt{4\alpha+1}}\tan\left(\frac{1}{2}\pi\sqrt{4\alpha+1}\right)$

Question

Para $\alpha\in\mathbb{R}$, parece que tenemos $\displaystyle \sum_{k \ge 0}\frac{1}{k^2+k-\alpha} = \frac{\pi}{\sqrt{4\alpha+1}}\tan\left(\frac{1}{2}\pi\sqrt{4\alpha+1}\right).$

He probado muchas técnicas y formas-en fracciones parciales, se convierta en una integral, la búsqueda de la suma parcial y así sucesivamente-para mostrar, pero todo terminó en un fracaso. Muchas gracias por la ayuda por adelantado.

Answer 1

Primero tomamos nota de que

$$ S = \sum_{k \ge 0} \frac{1}{k^2+k-\alpha} = \sum_{k \ge 0} \frac{1}{(k+1/2)^2 - (4\alpha+1)/4} = 4\sum_{k \ge 0} \frac{1}{(2k+1)^2 -a^2},$$

donde$a=\sqrt{4\alpha+1},$, por lo que

$$ S = 4 \sum_{m \textrm{ odd}} \frac{1}{m^2 - a^2}.$$

Ahora vamos a utilizar el conocido cotangente de identidad (en la parte inferior de la página)

$$\pi\cot(a\pi) = \frac{1}{a} + \sum_{m=1}^\infty \frac{2a}{a^2-m^2} . \quad (1)$$

La sustitución de $a$ $a/2$ y dividiendo por $2$ da

$$ \frac12 \pi\cot \left( \frac{a\pi}{2}\right) = \frac{1}{a} + \sum_{m=1}^\infty \frac{2a}{a^2-(2m)^2} . \quad (2)$$

Restando $(2)$ $(1)$ da

$$ \pi \cuna(a\pi) - \frac12 \pi\cuna \left( \frac {\pi}{2}\right) = \sum_{m=1, \textrm{ impar } m}^\infty \frac{2a}{a^2 m^2} $$

pero $\cot(\theta) -\frac12 \cot(\theta/2)= -\frac12 \tan(\theta/2)$, por lo que

$$ \frac{\pi}{4} \tan \left( \frac {\pi}{2} \right) = \sum_{m \textrm{ impar}} \frac{1}{m^2 - a^2},$$

a partir de la cual el resultado de la siguiente manera establecimiento $a = \sqrt{4\alpha + 1}.$

EDIT: La cotangente de identidad está demostrado aquí.

EDIT2: Una manera fácil de descubrir la cotangente de identidad es tomar logaritmos de la siguiente fórmula de producto para $\sin \pi x$ y diferenciar wrt $x.$ $$\sin \pi x = \pi x \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{n^2} \right)$$