La caracterización de holomorphic funciones en $L^2(\Bbb C^n)$

Question

Uno de mis problemas de la tarea de esta semana es "caracterizar todos los holomorphic funciones en $L^2(\Bbb C^n)$". Lo siento por no ser capaces de proporcionar el trabajo en mi progreso, pero eso es porque realmente no sé por dónde empezar. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Es una parte del ejercicio 1.4 en R. Michael Gama del libro, Holomorphic funciones y representación integral en varias variables complejas, Springer-Verlag.

Vamos a ver que holomorphic es demasiado restrictivo para funciones integrables.

Hacemos uso de Cauchy de la integral de la fórmula. Deje $f\in\mathcal O(\mathbb C^n)\cap L^p(\mathbb C^n)$,$1\leq p&lt\infty$. Fix $a=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb C^n$. Definimos $\gamma^r(\theta):=(\gamma_j^r(\theta_j))_{j=1}^n$ donde $\gamma_j^r(\theta)=a_j+r_je^{i\theta}$ y denotan $\partial_j$ la derivada parcial con respecto a $z_j$. Llegamos después de pasar a un volumen integral
$$|\partial_jf(a)|\rho^{e_j+1}\leq \frac 1{(2\pi)^n}\int_{[0,2\pi]^n}|f(\gamma^{r\rho}(\theta))|\rho_1\ldots\rho_nd\theta_1d\theta_2$$ y la integración de más de $\rho_1,\ldots,\rho_n$$0$$r$, obtenemos $$|\partial_jf(a)|\leq \frac 3{(2\pi)^nr^3}\lVert f\rVert_{L^p(\mathbb C^n)}\operatorname{vol}([0,2\pi]^n)^{\frac p{p-1}},$$ por lo tanto, dejar $r\to +\infty$ da $\partial_jf(a)=0$ $f$ es constante. Ya es $p$-integrable, $f$ tiene que ser $0$.

Para el caso de $p=+\infty$, $|\partial_jf(a)|\leq \frac 3{(2\pi)^nr^3}\lVert f\rVert_{L^{\infty}(\mathbb C^n)}\operatorname{vol}([0,2\pi]^n)$ $f$ es constante.

Conclusión: de $\mathcal O(\mathbb C^n)\cap L^p(\mathbb C^n)=\begin{cases}\{0\}&\mbox{ if }1\leq p&lt\infty\\\ \{z\mapsto c, c\in\mathbb C^n\}&\mbox{ if }p=+\infty. \end{casos}$

Answer 2

Esta pregunta es un poco viejo, pero por alguna razón él fue golpeado a la primera página y he pensado que me gustaría ofrecer otra respuesta, demostrando la aplicabilidad de algunas técnicas básicas de la teoría de distribuciones. La conclusión obtenida por Davide es un corolario a la ligeramente más fuerte declaración de que los polinomios son la única holomorphic funciones en $\mathbb{C}^n$ que son también templado distribuciones. El argumento se basa en el hecho de que un holomorphic función de $f$ es necesariamente una solución a una elíptica de la PDE, es decir,$\Delta f = 0$, y el beneficio de este enfoque reside en el hecho de que se generaliza fácilmente a cualquier solución de $f$ de una ecuación de $Lf = 0$ donde $L$ es una elíptica diferencial operador. Denotar por $\mathscr{S}$ el espacio de Schwartz en $\mathbb{C}^n \cong \mathbb{R}^{2n}$, y por $\mathscr{S}'$ el espacio de templado de distribuciones.

Para la prueba, vamos a $f$ ser un holomorphic de la función en $\mathbb C^n$ que también se encuentra en $\mathscr{S}'$. Uno puede expresar el Laplaciano $\Delta$ $$ \Delta = 4\sum_{j = 1}^n\partial_{z_j}\partial_{\bar{z}_j}, \etiqueta{1} $$ donde los operadores diferenciales $\partial_{z_j}$ $\partial_{\bar{z}_j}$ son definidos por $$ \partial_{z_j} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_j} + \frac{\partial}{\partial y_j}\right) \quad \text{y} \quad \partial_{\bar{z}_j} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_j} - i\frac{\partial}{\partial y_j}\right). $$ Por supuesto,$\partial_{\bar{z}_j}f = 0$$1 \leq j \leq n$, así que podemos ver por $(1)$ que $\Delta f = 0$.

Debido a $f\in \mathscr{S}'$, podemos aplicar la transformada de Fourier de la ecuación de $\Delta f = 0$, encontrando que $$ c |z|^2\hat{f} = \widehat{\Delta f} = 0 \etiqueta{2} $$ como templado distribuciones; aquí $c$ es un valor distinto de cero constante que depende de la normalización de la transformada de Fourier se utiliza, y $|z|^2\hat{f}$ es la distribución definida por $\varphi \in \mathscr{S}$$|z|^2\hat{f}(\varphi) = \hat{f}(|z|^2\varphi)$. De ello se desprende a la vez de $(2)$ que $\hat{f}$ es apoyado por el origen: Si $\varphi \in \mathscr{S}$ se apoya en el conjunto abierto $A_r = \{z:|z| > r\}$ algunos $r > 0$,$|z|^{-2}\varphi(z) \in \mathscr{S}$, por lo que $$ \hat{f}(\varphi) = |z|^2\hat{f}(|z|^{-2}\varphi) = 0. $$ Tomando la unión de los conjuntos de $A_r$, podemos ver que $\hat{f}$ es apoyado por el origen como se reivindica. Cualquier distribución apoyado en el origen puede ser representado como una combinación lineal de las $\delta$-función y sus derivados (hay un poco de trabajo, escondido en la presente declaración), por lo que, en particular, podemos encontrar un entero positivo $N$ y constantes $c_\alpha$ tal que $$ \hat{f} = \sum_{|\alpha| \leq N} c_\alpha \partial_x^\alpha \delta. $$ Ahora, aplicando la inversa de la transformada de Fourier podemos ver que $f$ es un polinomio. Si $p < \infty$, el único polinomio en $L^p(\mathbb{C}^n)$ es el polinomio cero, y la única polinomios en $L^\infty(\mathbb{C}^n)$ son constantes, con lo que obtenemos el mismo resultado que el de Davide.