Hasta donde yo sé, no hay evidencia convincente para apoyar esta hipótesis. (Y algunos de los principales aritmética de los geómetras creo que es falso.) Más bien, hay algunos muy interesantes consecuencias de esta conjetura, por ejemplo, una solución de la Inversa de Galois Problema por Q^{solv}: en otras palabras, para cualquier grupo finito G, existe una torre de extensiones radicales
K_0 = Q, K_1 = K_0(a_0^{1/n_0}) < K_2 = K_1(a_1^{1/n_1}) < ... <= K_n
y una extensión de Galois L/K_n con Galois grupo isomorfo a G. también muestra que geométricamente irreductible variedades algebraicas "adquirir puntos racionales" de una manera muy diferente de irreductible cero-dimensional variedades (que tiene un único mínimo
la división de campo, que no necesita ser solucionable).
Por supuesto, las cosas interesantes que se derivan de una conjetura son, en todo caso, la evidencia en contra de la verdad de la conjetura, a pesar de que apoye la afirmación de que la pregunta es muy interesante.
Hay un impresionante resultado en esta conjetura, es decir, la Ciperiani-Wiles teorema: vamos C_{/P} ser un género de una curva con puntos en todas partes a nivel local y semistable Jacobiana de curva elíptica E. Entonces C(Q^{solv}) es no vacío.
En el lado negativo, hay un papel de Ambrus Pal que construye, para cada suficientemente grande entero g, una curva C de género g sobre un campo K, que no admite puntos por encima de la máxima solucionable extensión de K. (Aquí se K no es un campo de número.)
Por otro lado, hasta donde yo sé, todavía está abierta a encontrar absolutamente irreductible variedad V/Q, que no tiene puntos racionales sobre la máxima metabelian extensión de Q, es decir, más de (Q^{ab})^{ab}. Para algunos pensamientos acerca de esto, ver
http://www.math.uga.edu/~pete/abeliantalk.pdf
ADDENDUM:
Me olvidé de afrontar la última parte de la pregunta: ¿qué acerca de la función global de los campos?
Como he mencionado anteriormente, hay contraejemplos sobre la función de un campo lo suficientemente complicado campo de tierra, como P. por supuesto que decir de un número finito de extensión de F_q(T), en cuyo caso creo que absolutamente nada se sabe. En particular, creo que el análogo de Ciperiani-Wiles se abre aquí, y puede que no sea una simple adaptación, ya que C-W usa los resultados en la modularidad de curvas elípticas. Esto podría hacer una buena tesis problema...pero me gustaría hablar con Mirela Ciperiani antes de hacer cualquier trabajo serio.
