Considere la siguiente pregunta:
Demostrar que un grupo $G$ de orden $8p$ es soluble, para cualquier primo $p$ .
Estoy un poco atascado, pero aquí están mis primeros intentos:
Elegí la serie de subgrupos $G>H_8>H_4>H_2>H_1=\{e\}$ donde $H_k$ tiene orden $k$ . Todos estos subgrupos existen gracias a los teoremas de Sylow. Tenemos los cocientes $H_8/H_4\cong H_4/H_2 \cong H_2/H_1 \cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ Así que $G>H_8\rhd H_4\rhd H_2\rhd H_1=\{e\}$ . Sólo el factor $G/H_8 \cong \mathbb Z/p\mathbb Z$ me está causando un dolor de cabeza, porque aunque es de orden primo (y por tanto abeliano) no sé si $H_8$ es normal en $G$ (a menos que $p=2$ ).
Si $p\ne 2$ , entonces el número $k$ de Sylow $2$ -subgrupos es $1$ mod $2$ . Desde $k$ divide $|G|$ podríamos tener $k=1$ o $k=p$ . Si tuviéramos $k=1$ entonces $H_8$ sería el único Sylow $2$ -(y por lo tanto normal en $G$ ). Pero, ¿cómo podríamos demostrarlo?
¿O hay una manera más fácil de abordar este problema?
$\ $
edit: Voy a intentar un enfoque diferente: El caso $p=2$ está claro. Cuando $p=3$ o $p=7$ el grupo tiene orden 24 o 56 y como el grupo simple no abeliano más pequeño tiene orden 60, el grupo también debe ser soluble en estos casos excepcionales (como señaló Mariano).
En cualquier otro caso obtenemos un Sylow $p$ -subgrupo $H_p$ de orden $p$ que es normal en $G$ . El cociente $G/H_p$ tiene orden $8=2^3$ ; y el orden de potencia primo implica que se puede resolver. Así que $G/H_p$ es solucionable y $H_p$ también es solucionable. Y como los factores de composición de $G$ son los de $H_p$ junto con los de $G/H_p$ concluimos que $G$ es solucionable si $H_p$ y $G/H_p$ son resolubles, como es el caso. Por lo tanto, $G$ es solucionable si $|G|=8p$ .
