Son las funciones de la distancia $ d(a_1,x), ..., d(a_n,x) $ a de un espacio métrico arbitrario linealmente independientes?

Question

Si tenemos un espacio métrico $ (X,d) $, un conjunto finito de puntos distintos $ a_1, ..., a_n $, ¿ la distancia de las funciones de $ d(a_1,x), ..., d(a_n,x) $ deben ser linealmente independientes?

Es decir, si $ c_1d(a_1,x) + ... + c_nd(a_n,x) = 0$ todos los $ x $,$ c_1 = ... = c_n = 0 $? Esto puede fácilmente ser visto para ser cierto para $ n = 2 $ y también para $ n = 3 $, pero ¿cuál es la respuesta en general?

Si nos substitude todas las $ a_i $ de x, obtenemos un interesante sistema de n ecuaciones, donde podemos tratar a $ c_i $ como de los desconocidos, y, a continuación, la matriz de los coeficientes $ d(a_i, a_j) $ es simétrica con 0 en la diagonal(al parecer esto se llama un "hueco de la matriz"). Todo esto se ve muy interesante y prometedor, pero yo realmente no sé dónde llevarla.

Answer 1

Un contraejemplo es dada por los cuatro puntos de espacio métrico con la distancia de la matriz $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Tenga en cuenta que la suma de los $1$st $3$rd filas es igual a la suma de los $2$nd e $4$th.

Geométricamente, este espacio métrico es realizado por los vértices de la $4$ciclo $C_4$ con la ruta de métrica, es decir, el menor número de aristas para viajar.