Secuencia exacta en un nonabelian categoría [anteriormente: "la secuencia Exacta de grupos topológicos?"]

Question

Si $A$, $B$, y $C$ son grupos topológicos, y $f: A \to B$ $g: B \to C$ son dos grupo continuo homomorphisms, ¿qué significa generalmente para

$$1 \to A \stackrel{f}{\to} B \stackrel{g}{\to} C \to 1$$

para ser exactos?

Yo esperaría que por lo menos uno se espera exactitud como resumen de los grupos (en contraposición a, por $g(B)$ sólo sea densa en $C$).

Hace uno también esperan $f$ a ser un homeomorphism de $A$ a $f(A)$? Y si es así, ¿uno más esperan $C$ a ser homeomórficos a $B/f(A)$ con el cociente de la topología de>?

Sería una de las expectativas de cambio si $A$, $B$, y $C$ fueron todos abelian topológico grupos? (¿Y si todos ellos eran topológico $G$-módulos para algunos topológico grupo$G$, esto es, si cada uno era una abelian topológico grupo y, además, hemos tenido la continua acción del grupo de mapas de $G \times A \to A$ y lo mismo $B$$C$, e $f$ $g$ se $G$-equivariant?)

Esto parece ser sólo una cuestión de semántica. Definitivamente veo, al menos, algunos autores requieren $A$, $C$ tener el subespacio, topología cociente. Pero algo he leído en algún otro lugar parece sugerir que la condición sólo debe estar en la topología de $A$ solamente, o tal vez no hay más topológica de la condición en todo --- yo no puedo decirle...

Así que, ¿qué se puede esperar cuando usted lee o escucha que $1 \to A \to B \to C \to 1$ es una secuencia exacta de los grupos topológicos? Hay un consenso?

ACTUALIZACIÓN: La pregunta se ha reducido a la comprensión de lo que significa para una secuencia para ser exactos, en una categoría que no es abelian pero ha núcleos y cokernels (un cero y de objeto). Hay algunas ideas en Mateo Daws la respuesta y los comentarios que siguen a continuación, pero una referencia sería genial.

Answer 1

Edit: Añadido algunas referencias; gracias a t.b. para muchos de estos.

Supongamos que yo considero como mi categoría topológica (Hausdorff), los grupos y continua homomorphisms. Esto tiene un cero "objeto", que es justo lo trivial grupo $\{1\}$. A continuación, el (grupo teórico) núcleo de un continuo homomorphism será un subgrupo cerrado, y por lo tanto de un grupo topológico en su propio derecho. Es fácil ver que esto demuestra que esta categoría ha "núcleos" en el sentido abstracto.

La formación de cokernels es un poco más complicado: dado $f:G\rightarrow H$ deje $Q$ ser cerrada subgrupo normal de $H$ generado por $f(G)$. A continuación, $H/Q$ es un topológico de Hausdorff grupo (Ver Hewitt+Ross, Thm. 5.26). El cokernel de $f$ es entonces el cociente homomorphism $q:H\rightarrow H/Q$. De hecho, claramente $qf=0$; si $q'f=0$ $f(G) \subseteq \ker q'$ $\ker q'$ es un cerrado normal subgrupo, $Q\subseteq \ker q'$.

Del mismo modo, $f:G\rightarrow H$ es "monic" si y sólo si $f$ (conjunto teórico) inyectiva. $f$ es "epi" si se ha densa gama (Edit: el "sólo si" reclamo produce localmente compacto grupos, vemos un ejemplo de Reid; pero es cierto localmente compacto grupos en la categoría de Hausdorff grupos, consulte a un papel de Nummela, "En epimorphisms topológico de los grupos" (1978); para simplemente topológico de Hausdorff grupos, "sólo si" es falsa, consulte el papel de Uspenskij).

Entonces yo creo que tenemos un resumen de la categoría de la teoría de la definición de "secuencia exacta", es decir, $$ 0 \rightarrow G \xrightarrow{f} H \xrightarrow{g} K \rightarrow 0 $$ con $f$ monic, $g$ epi, $f$ es el núcleo de $g$ $g$ es el cokernel de $f$. La traducción, esto significa precisamente que $f$ es un homeomorphism en su gama, de la que es habitual núcleo de $g$, e $K$ es isomorfo a$H/f(G)$, $g$ el cociente mapa. Esta definición es copiado de Mac Lane, "Categorías para el trabajo matemático", Capítulo VIII, Sección 3. Ahora, que la sección es todo acerca de abelian categorías, pero la definición de las obras en más generalidad.

Es la "correcta" de la definición? Yo absolutamente no quiere decir que. Pero si quería algo para empezar, esto parece razonable. Si quieres algo un poco diferente para una aplicación? Entonces, ¿qué hay de malo con sólo la ortografía, muy claramente, a qué te refieres por "exacto", y tal vez de decir algo en el sentido de que esto no es enteramente un estándar de definición?

Answer 2

En un aditivo (o incluso preadditive) de la categoría, un mapa de $\phi: A \to B$ es adecuada si el natural mapa desde el núcleo de la cokernel de $\phi$ a la cokernel del núcleo de $\phi$ es un isomorfismo. Tenga en cuenta que parte de esta definición es el requisito de que todos estos kernels y cokernels existen. En este caso, ambos objetos son a veces llamada la "imagen" (a pesar de que diversas fuentes significar uno o el otro en general). Generalmente una secuencia $A \to B \to C$ está definido para ser exactos si los mapas son correctas y el natural mapa de la imagen de $A \to B$ a que el núcleo de $B \to C$ es un isomorfismo. Véase, por ejemplo, Yoneda del papel "En la Ext y Exacta de las Secuencias" o "Cuasi-Abelian Categorías y Gavillas" de Jean-Pierre Schneiders.

Un monomorphism es adecuado el fib es el núcleo de algunos de morfismos, y doblemente para epimorphisms. Si la categoría contiene todos los núcleos y cokernels, a continuación, un monomorphism es adecuado el fib es el núcleo de su cokernel, y doblemente para epimorphisms. Así que para una secuencia $0 \to A \to B \to C \to 0$, si usted requiere que los mapas de ser apropiado, a continuación, la secuencia es exacta si y sólo si (1) $A \to B$ es el núcleo de $B \to C$ $B \to C$ es un epimorphism, o (2) $B \to C$ es el cokernel de $A \to B$ $A \to B$ es un monomorphism.