En un tema anterior , he preguntado por la prueba de afirmaciones que son simples pero incorrectas.
En este caso, pregunto sobre afirmaciones que parecen, a primera vista, sencillas, pero si intentamos escribir una prueba, vemos que es mucho más difícil de lo que parecía. Así que espero que las respuestas contengan:
Continuando con mi comentario, Teorema de la curva de Jordan es, quizás, uno de los teoremas más conocidos, fáciles de entender y muy difíciles de demostrar. Podríamos escribirlo como:
Para cualquier curva lisa cerrada no autointersectiva (es decir, un mapa continuo e inyectivo desde el círculo $\,S^1\,$ al plano real), su complemento en el plano tiene exactamente dos componentes de conectividad: una acotada y otra no acotada.
¿Por qué parece fácil? Porque la mayoría de las curvas que se nos ocurren que cumplen las condiciones anteriores cumplen "trivialmente" la afirmación.
¿Por qué no es fácil su prueba? Porque, en el caso general, requiere cosas avanzadas como los grupos de homotopía, los mapas de Hopf, los mapas de cobertura, las propiedades de elevación de los mapas, etc. (Sólo estoy hablando de algunos aspectos de la demostración en el libro mencionado anteriormente. Podría haber, y casi seguro que hay, otras pruebas).
La propiedad: Dejemos que $f : (0,+ \infty) \to \mathbb{R}$ sea una función continua. Si $f(nx) \underset{n\to + \infty}{\longrightarrow} + \infty$ para todos $x>0$ entonces $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=+ \infty$ .
Aunque la propiedad es visual, la única prueba que conozco utiliza el teorema de la categoría de Baire, un punto de vista bastante abstracto.
Esto no es exactamente una respuesta a su pregunta, pero creo que se aproxima.
A continuación presento una prueba que probablemente sea exagerada, sin embargo siempre que he intentado simplificar las cosas he acabado encontrando necesario utilizar algunas cosas relativamente profundas.
Si alguien puede aportar una prueba más elemental, borraré esta respuesta o añadiré la prueba a la respuesta, dependiendo de lo fácil que sea.
Primero una definición que no he utilizado explícitamente, pero que es útil para quien intente dar una prueba más elemental.
Definición: Se dice que un conjunto es finito si es equinumérico a (¿con?) $[k\textbf{]}\color{grey}{(=\{x\in \omega :x<k\})}$ para algunos $k\in \omega$ .
Declaración: Dejemos que $A,B$ sean conjuntos finitos. Si $|B|\leq |A| \land A\subseteq B$ entonces $A=B$ .
Prueba: Supongamos que $|B|\leq |A| \land A\subseteq B$ y $A\neq B$ . Entonces $A\subset B$ y como son finitos $|A|<|B|$ (esto utiliza el hecho de que un conjunto es finito si, y sólo si, no es Dedekind infinito lo cual es algo demasiado profundo teniendo en cuenta que la afirmación se valora como intuitivamente verdadera). Y esto es una contradicción debida a la tricotomía de los números cardinales (que tampoco es profunda).
La siguiente prueba fue sugerida (y escrita) por T. Verron . Aunque sea elemental, sigue sirviendo a mi propósito: la diferencia entre lo fácil que es creer la afirmación y la prueba es enorme.
Una posible prueba elemental: Dejemos que $m = |A|$ y $n= |B|$ . Sea $f$ sea una biyección de $A$ a $[m]$ y que $g$ sea una biyección de $B$ a $[n]$ . Definir un nuevo mapa $h : B \to [n]$ cuya restricción a $A$ es $f$ . Por ejemplo, dejemos que $\sigma$ sea una permutación de $B$ , de tal manera que $\sigma(g^{-1}[m]) = f^{-1}([m])=A$ y definir $h$ por
$h(x) = \begin{cases}f(x) & \text{if}\;\; x \in A \\ g \circ \sigma^{-1}(x) & \text{else}\end{cases}$
Entonces $h$ es una biyección de $B$ a $[n]$ y $h \circ f^{-1}$ es una inyección de $[m]$ a $[n]$ . Eso demuestra que $m \leq n$ y, por tanto, por suposición, que $m = n$ . Ahora $f^{-1} \circ h$ es una biyección de $A$ a $B$ y por construcción es la identidad.
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