Ahora mi pregunta deje $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ son números positivos,y $a_{n+i}=a_{i},i=1,2,\cdots$,muestran que
$$(\sum a_{1}^{1.5})^2\ge \sum a_{1}\sum a_{1}a_{2}$$
mi maestro (tian275461) tiene que probar este $$(a^{1.5}+b^{1.5}+c^{1.5})^2\ge (a+b+c)(ab+bc+ac)$$
Él métodos:vamos a $a\longrightarrow a^2,b\longrightarrow b^2,c\longrightarrow c^2$ entonces $$\Longleftrightarrow (a^3+b^3+c^3)^2\ge (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)$$ $$\Longleftrightarrow(\sum a^3)^2\ge \sum a^2\sum a^2b^2$$
nota $$(\sum a^3)^2=\sum a^2\sum a^4-\sum b^2c^2(b-c)^2$$ $$\Longleftrightarrow \sum a^2\left(\sum a^4-\sum a^2b^2\right)-\sum b^2c^2(b-c)^2\ge 0 $$ $$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\sum a^2\sum(b^2-c^2)^2-\sum b^2c^2(b-c)^2\ge 0$$ $$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}(b-c)^2 \left(\sum a^2\sum (b+c)^2-2\sum b^2c^2\right) \ge 0$$
esto es suficiente para mostrar que $$\sum b^2\sum (b+c)^2-2\sum b^2c^2\ge 0$$
y tenga en cuenta que $$\sum b^2\sum (b+c)^2-2\sum b^2c^2=2\sum a^4+2\sum a^3b+2\sum a^3c+2\sum a^2b^2+2\sum a^2bc\ge 0$$ para n=4,es sólo mostrar que $$(a^3+b^3+c^3+d^3)^2\ge (a^2+b^2+c^2+d^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2)$$
