Espectral de la Secuencia de la prueba de los cinco lema

Question

Los cinco lema es muy útil resultado de la topología algebraica y álgebra homológica (y tal vez en otros lugares). La prueba no es difícil - es esencialmente un diagrama de chase.

Ejercicio 1.1 en McCleary de la "Guía de Usuarios para Espectral de Secuencias" tiene el problema de la prueba de la cinco-lexema mediante una secuencia espectral.

Ahora sé que esto se puede hacer mediante una secuencia espectral de un doble complejo, pero esto aún no se ha introducido todavía. De hecho, realmente no sé mucho acerca de la espectral secuencias después del Capítulo 1. Sabemos sobre la filtración en un gradual espacio, lo espectral de la secuencia es, y cómo configurarlo. Hemos demostrado que se colapsa en ciertas páginas bajo las condiciones apropiadas. Hay una gran sección sobre bigraded álgebras/espectral de secuencias y sabemos acerca de reconstucting $H^*$ de knownledge de $E^{\ast,\ast}_\infty$

Pero no inmediatamente cuerda me cómo utilizar sólo este conocimiento para probar los cinco lema. Tal vez McClearly es justo presumir que sus lectores son lo suficientemente inteligentes como para averiguar para la construcción de un complejo total (es decir, sumando a lo largo de la diagonal)?

O me estoy perdiendo algo que es obvio?

Answer 1

Considere la posibilidad de un diagrama conmutativo

            r      r'
0 <--- M' <--- M <--- M'' <--- 0
       |       |      |
       | f'    | f    | f''
       V       V      V
0 <--- N' <--- N <--- N'' <--- 0
            k      k'

con exacto de filas y con $f'$ $f''$ isomorphisms.

Esto se puede ver, completando con ceros, como un doble complejo. Desde el complejo dispone de un número finito distinto de cero componentes, los dos espectral de secuencias que se derivan de la filtración por filas y la filtración por columnas de ambos convergen a la homología del complejo total, que he de indicar $X$.

La primera secuencia espectral ${}^IE$, que surge de la filtración por filas, tiene cero ${}^IE^1$ plazo, precisamente porque hemos asumido que las filas son exactas. Desde ${}^IE$ converge a $H_\bullet(X)$, podemos ver que $H_\bullet(X)=0$, es decir, que el total del complejo es exacta.

Ahora la segunda secuencia espectral ${}^{II}E$, que surge de la filtración por filas, ha $1$st plazo ${}^{II}E_1$ como en el siguiente diagrama

                   R            R'
0 <---  ker f'   <---  ker f  <---  ker f'' <--- 0



0 <--- coker f'' <--- coker f <--- coker f'' <--- 0
                   K            K'

con los mapas horizontales $R$, $R'$, $K$ y $K'$ inducida por los mapas $r$, $r'$ y $k$, $k'$ en el diagrama original. Desde $f'$ $f''$ son isomorphisms, esto es realmente

0 <--- 0 <---  ker f  <--- 0 <--- 0



0 <--- 0 <--- coker f <--- 0 <--- 0

De ello se desprende que todas las diferencias en el ${}^{II}E_1$ plazo son cero, por lo que el ${}^{II}E_2$, de hecho es igual a ${}^{II}E_1$ como graduado objeto. Por otra parte, la forma en que el no-cero objetos en ${}^{II}E_2$ están colocados implica de inmediato que los diferenciales en todos los términos de ${}^{II}E_r$ $r\geq2$ desaparecen, por lo que el ${}^{II}E_\infty={}^{II}E_1$. Por último, la forma de ${}^{II}E_\infty$ y el hecho de que ${}^{II}E$ converge a cero implica que ${}^{II}E_1$ es en sí mismo es cero. En otras palabras, $\ker f$ $\operatorname{coker}f$ cero: esto, por supuesto, nos dice que $f$ es un isomorfismo.

(Si no asumimos que $f'$ $f''$ son isomorphisms, el ${}^{II}E_1$ no trivial diferenciales, y la secuencia espectral ${}^{II}E$ sólo degenera en ${}^{II}E_3$. Si usted escribe qué significa esto exactamente, usted va a obtener la Serpiente Lema-: la una no-cero diferencial en ${}^{II}E_2$ es la conexión homomorphism)

Answer 2

Después de una reflexión, creo que se puede argumentar sin realmente pensar demasiado acerca de la doble complejos (pero esencialmente usando el mismo argumento).

Así que empieza por sólo la imagen de la compleja sólo con los mapas de entre las filas como las $E_0$ página de algún espectral de la secuencia. Ya es exacta, se derrumba a 0 en el $E_1$ página y así sabemos que todo lo que estamos calculando es cero.

A continuación, gire las cosas de 90 grados y hacer la misma cosa (por lo que este tiempo de pensar acerca de los mapas entre las columnas) como el $E_0$ página de alguna secuencia. A continuación, tomar las homologías que le da una serie de núcleos a lo largo de la fila de abajo, y cokernels en la primera fila. Ya sabes que las funciones son mono/epi de saber cuáles de estos son cero. Llegar a la $E_2$ página y todo se derrumba por un grado argumento. A continuación, hacer la suposición (no estoy seguro de ver una simple justificación para ello) que los dos espectral de la secuencia está dando a la misma cosa para argumentar que lo que queda en el $E_2$ página de la secuencia espectral debe ser cero - lo que da a lo que el requerido mapa debe ser un isomorfismo.

Answer 3

Hay una forma diferente de hacer esto. Los detalles se dejan como ejercicio para el lector interesado.

Supongamos que, como en mi otra respuesta, que tenemos un diagrama conmutativo

            r      r'
0 <--- M' <--- M <--- M'' <--- 0
       |       |      |
       | f'    | f    | f''
       V       V      V
0 <--- N' <--- N <--- N'' <--- 0
            k      k'

con exacto de filas y $f'$ $f''$ isomorphisms.

Considerar la compleja

                   f
... ---> 0 ---> M ---> N ---> 0 ---> ....

dotado con el aumento de la filtración tales que el $0$th capa está dada por el subcomplejo

... ---> 0 ---> M' ---> N' ---> 0 ---> ....

y cuyas $1$th capa es la cosa entera.

Construir la secuencia espectral asociada a este filtrado complejo. Converge. Ahora identificar explícitamente lo que el $0$th página de la spetral secuencia es (sugerencia: es ssentially los mapas $f'$$f''$...) y muestran que el $E^2$ página es cero. A la conclusión de que $f$ es un isomorfismo.