Demostrar producto tensor de dos formas multilineales es conmutativa sólo si uno de ellos es cero

Question

Demostrar $L \otimes M = M \otimes L$ si $L=0$ o $M=0$

Vi esta declaración en Álgebra Lineal (2ed), escrito por Hoffman y Kunze. No puedo entender cómo demostrarlo. Las formas multilineales $L$ (e $M$) son de $V^r$ (e $V^s$) a $K$ donde $K$ es un anillo conmutativo con identidad y $V$ $K$- módulo. Creo que es razonable excluir $L=M$.

Gracias.

Añadido por parte de la multitud. Aquí está el extracto relevante.

Answer 1

Después de una larga cadena de (edad) comentarios, un resumen en orden. Por definición, $L\otimes M$ es la función en $V^{r+s}$ tal que $$(L\otimes M)(\alpha_1,\dots,\alpha_{r+s})=L(\alpha_1,\dots,\alpha_r)\,M(\alpha_{r+1},\dots,\alpha_{r+s}) \tag1$$ Del mismo modo, $$(M\otimes L)(\alpha_1,\dots,\alpha_{r+s})=M(\alpha_1,\dots,\alpha_s)\,L(\alpha_{s+1},\dots,\alpha_{s+r}) \tag2$$ La siguiente es una condición suficiente para que las funciones se definen por (1) y (2) a ser igual, se señaló en los comentarios por Jonas Meyer.

$(*)\qquad$ $L$ y $M$ son múltiplos escalares de algunos tensor de potencias de una función multilineal $N$.

Desde $(*)$ no requieren $L$ o $M$ a desaparecer, la declaración en el libro es falso.

No ha sido resuelto si $(*)$ es también una condición necesaria para $L\otimes M=M\otimes L$.

Answer 2

Considerar cada función lineal como un vector columna en el doble espacio con alguna base. A continuación, el producto tensor de $n$ estos vectores puede ser visualizado como un hiper de la matriz (o tensor, como generalmente se describe en la física) de dimensión $n$, donde cada entrada es el producto de las entradas en cada vector columna. Dos vectores $a,b$ tensored da una matriz donde cada fila es un múltiplo del primer vector, y los múltiples de cada fila está dado por las entradas en la segunda columna del vector.

Tensoring dicha matriz con un tercer tensor da una cúbica de la matriz donde cada segmento horizontal es un múltiplo de la base de la matriz, y los múltiplos son dadas por el tercer vector de columna, etc.

Tenga en cuenta que cada fila (es decir, 1-dimensional subconjunto) de la $i$th dirección del tensor de hyper matriz es un múltiplo de la $i$th vector en el producto tensor. Ya sea cada fila es igual a cero (y el tensor es de cero) o podemos recuperar el $i$th vector en el tensor de producto por un escalar factor.

Esto significa que en la no-cero tensor de productos, la multiplicands y su orden se determina únicamente a productos escalares. Cambiar el orden de tensoring como se describe en el problema es equivalente a tomar una $r+s$ dimensiones tensor de permuting el orden de la multiplicands por una permutación cíclica (I. e. cambio de cada índice por $s$ y modificación de los índices por $r+s$). Si el tensor es invariante bajo una permutación cíclica, entonces el multiplicands del producto tensor debe ser, hasta un escalar factor,periódica con período de $gcd(s,r+s)=gcd(s,r)$, es decir, el 2 vectores ser tensored deben ser múltiplos escalares de tensor de potencias de la misma tensor.