$f(x+1)-f(x)$ converge $\Rightarrow\frac{f(x)}x$ converge

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continua tal que $\lim_{x\to\infty}f(x+1)-f(x)=l$.

Cómo puedo probar que $\dfrac{f(x)}x$ converge para $x\to+\infty$ ?

Sólo estoy tratando de probar la convergencia, no es que converge a $l$ (que en parte se deduce inmediatamente por Stolz-Cesaro y la secuencia de la caracterización de los límites)

Answer 1

Aquí está una similar, pero más interesante declaración.

Deje $f$ definido en $(a,+\infty)$ y limitado en todo intervalo acotado $(a,b)$. Si $\lim_{x\to\infty}\bigr(f(x+1)-f(x)\bigl)=l$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=l$.

Deje $\lim_{x\to\infty}\bigr(f(x+1)-f(x)\bigl)=l$ e introducir $M_n=\sup_{[n,n+1)} f(x)$$m_n=\inf_{[n,n+1)} f(x)$. Las secuencias de $\{M_n\}$ $\{m_n\}$ están bien definidos para $n\ge \lfloor a\rfloor +1$. Por definición de $\sup$ $\inf$ tenemos tener una secuencia $\{x_n\}\in[n,n+1)$ arena $f(x_n)>M_n-\varepsilon$. Ahora a la conclusión de que $\lim_{n\rightarrow +\infty} (M_{n+1}-M_n)=l$ $\lim_{n\rightarrow +\infty} (m_{n+1}-m_n)=l$ .

Por tolz-Cesaro teorema $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{M_n}{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{m_n}{n+1}.$$ Entonces no existe $n_0$ tal que $n>n_0$ hemos $$-\varepsilon<\frac{M_n}{n}-l<\varepsilon\quad\text{and}\quad -\varepsilon<\frac{m_n}{n+1}-l<\varepsilon.$$ It follows that $f(x)>0$ for $x$ large enough if $l>0$. Then if $n_x=\lfloor x\rfloor$ $$ \frac{m_{n_x}}{n_x+1}\le\frac{f(x)}{x}\le\frac{M_{n_x}}{n_x} .$$ Es bastante fácil llegar a la conclusión de $l\ne 0$. Os dejo el resto del trabajo para usted para $l=0$ $l<0$ la anterior desigualdad se convierte en $$ \frac{m_{n_x}}{n_x}\le\frac{f(x)}{x}\le\frac{M_{n_x}}{n_x+1} .$$

Answer 2

Parece que el siguiente.

Deje $1>\varepsilon>0$ ser un número arbitrario. Existe un número $N>0$ tal que $$|f(x+1)-f(x)-l|\le \varepsilon$$ for each $x\ge N$. Since the function $f$ is continuous, $$\sup \{f(y): y\in [N;N+1]\}=M<\infty.$$ Let $y\ge \max \{M, (|l|+1)(N+1)\}/\varepsilon $ be an arbitrary number. There exists a nonegative integer $k_y$ such that $N\le y-k_y<N+1$. Then $k_y\le s$, $M\le s\varepsilon$, and $|l|(y-k_y)<|l|(N+1)\le s\varepsilon$. Así

$$|f(y)-ly|\le$$ $$|f(y)-f(y-1)-l|+|f(y-1)-f(y-2)-l|+\dots+|f(y-k_y+1)-f(y-k_y)-l|+|f(y-k_y)|+|lk_y-ly|\le k_y\varepsilon+M+|l|(y-k_y)\le 3y\varepsilon. $$