Estoy estudiando para actuarial de los exámenes, pero yo siempre recoger las matemáticas libros porque me gusta desafiarme a mí mismo y tratar de aprender nuevas ramas. Recientemente me he comprado la Topología por D. Kahn y estoy encontrando difícil. Aquí hay un problema que yo creo que me estoy respondiendo lo suficiente, pero cualquier ayuda sería genial si estoy fuera.
Si $d$ es una métrica sobre un conjunto $S$, muestran que $$d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$$ is a metric on $S$.
Las condiciones para ser una métrica se $d(X,Y)\ge{0}, d(X,Y)=0$ fib $X=Y$, $d(X,Y)=d(Y,X)$, y $d(X,Y)\le{d(X,Z)+d(Z,Y)}$. Por lo tanto, simplemente ir axiom axiom.
1), Ya que ambos $d(x,y)\ge{0}$ $1+d(x,y)\ge{0},$ es claro que $d_1(x,y)\ge{0}$. (Este es un análisis suficiente?)
2) $d_1(x,x)=\frac{d(x,x)}{1+d(x,x)}=\frac{0}{1+0}=0$.
3) $d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=\frac{d(y,x)}{1+d(y,x)}=d_1(y,x).$
4) $d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\le{\frac{d(x,z)+d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}}=\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)+d(z,y)}+\frac{d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}\lt\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}+\frac{d(z,y)}{1+d(z,y)}=d_1(x,z)+d_1(z,y).$
Sin embargo, la #4 es estrictamente menor, no menos que o igual a, de acuerdo a mi análisis, así que, ¿de dónde me salen mal?
