Encontrar el valor $\displaystyle\sum_{n=2,n\neq m^2}^{1000}\left[\dfrac{1}{\{\sqrt{n}\}}\right]$,
por $\{x\}=x-[x]$, $[x]$fue la función de soporte,por ejemplo:$[5.4]=5, [2.9]=2,[-1.1]=-2 $y así sucesivamente.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta es 3843 calculado por la fuerza bruta.
El resto no es la respuesta pero lo interesante que me parece relacionados a esta suma.
Para $n^2 < x < (n+1)^2$, vamos a $x = n^2 + k$, tenemos:
$$\left\lfloor\frac{1}{\{\sqrt{x}\}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{1}{\sqrt{n^2+k}-n}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{\sqrt{n^2+k} + n}{k}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{2n}{k}\right\rfloor $$ Esto nos da: $$\sum_{x = n^2+1 }^{(n+1)^2-1} \left\lfloor\frac{1}{\{\sqrt{x}\}}\right\rfloor = \sum_{k=1}^{2n}\left\lfloor\frac{2n}{k}\right\rfloor = D(2n)$$
donde $D(n) = \sum_{k=1}^{n} \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor = \sum_{k=1}^{n} d(k)$ es el Divisor summatory función que es, básicamente, una suma de $d(k)$, el número de divisores de a $k$. El valor de $D(n)$ está cubierto por la OEIS secuencia A006218.
Aviso para $n = 31$, el rango de $n^2+1, \ldots, (n+1)^2 - 1$ sobre la cubierta de la cola de nuestra gama de la suma de $1,\ldots, 1000$. Para $1000 < x < 1024$, $k = x - n^2 > 39 \implies \left\lfloor\frac{2n}{k}\right\rfloor = 1$.
Como resultado:
$$\begin{align}\sum_{x=2,x\neq m^2}^{1000}\left\lfloor\dfrac{1}{\{\sqrt{x}\}}\right\rfloor &= \sum_{x=2,x\neq m^2}^{1023}\left\lfloor\dfrac{1}{\{\sqrt{x}\}}\right\rfloor - 23 = \sum_{n=1}^{31} \sum_{x=n^2+1}^{(n+1)^2-1}\left\lfloor\frac{1}{\{\sqrt{x}\}}\right\rfloor -23\\ &= \sum_{n=1}^{31}D(2n) - 23 = 3843 \end{align}$$
Sobre el comportamiento asintótico de la siguiente suma como una función de la $N$
$$\sum_{x=2,x\neq m^2}^{N}\left\lfloor\dfrac{1}{\{\sqrt{x}\}}\right\rfloor$$ No se sabe mucho acerca de eso. En el corazón de la suma, el comportamiento asintótico de $D(x)$ es la famosa sin resolver de Dirichlet Divisor Problema. Lo único que sabemos es para un gran $x$,
$$D(x) = x\log x + x(2\gamma - 1) + O(x^\theta)$$
La mejor obligado para $\theta$ conoce hoy en día es $131/464$ por Huxley (2003).
