¿Hay infinitos primos $p$ tal que $\frac{(p-1)! +1}{p}$ ¿es primordial?

Question

Aquí tengo lo siguiente conjetura:

Dejemos que $$S_1(n)= \frac{(n-1)! +1}{n}.$$ Entonces existen infinitos números primos $p$ para lo cual $S_1(p)$ es primo.

Y no sé cómo probarlo.

EDITAR
Dejemos que $C_1(n)=[S_1(n)]$ donde $[n]$ denota la parte integral. Entonces tengo otra conjetura que $[C_1(1) ,C_1(2),C_1(3) ,C_1(4),C_1(5) ,C_1(6)...]$ contiene infinitos primos . ¿Hay alguna forma de demostrarlo?

Answer 1

La primera solución de los primos está en la OEIS como A050299 : $$1, 5, 7, 11, 29, 773, 1321, 2621$$ con el comentario "No hay otros términos hasta $6550$ y el siguiente primo correspondiente tiene más de $22150$ dígitos. No hay más términos por debajo de $30941$ ."

Mike Oakes añadió un comentario (y su corrección ya que faltaba un factor importante) :
"Asintóticamente, la probabilidad de que $p$ es primo es $\dfrac 1{\log(p)}$ y que $N =\dfrac {1+(p-1)!}p$ es primo es $\displaystyle \frac 1{\log(N)} \approx \frac 1{\log((p-2)!)} \approx\frac 1{p\log(p)}$ por Stirling.

CORRECCIÓN: ya que no hay primos $< p$ divide $N$ la probabilidad de que $N$ es primo debe multiplicarse por el factor $\;e^{\gamma}\log(p)$ (utilizando Teorema de Mertens ), donde $\gamma$ es la constante de Euler, con $e^{\gamma}=1.7810724\cdots$

Así que el número esperado de tales primos entre $p_1$ y $p_2$ es de orden : $$ e^{\gamma}\;\int_{p_1}^{p_2} \frac{\log(x)\;dx}{x\log(x)^2} = e^{\gamma}(\log(\log(p_2))-\log(\log(p_1)))$$ que no tiene límites, ya que $\,p_2\to\infty$ .

Haciendo números, esto predice:

1. que para $\;2 \le p \le 30941$ debería haber $4.8$ tales primos, que está en razonable acuerdo con el número real encontrado ( $7$ ); y
2. que asintóticamente hay en promedio un primo de este tipo entre $p_1$ y $p_2$ siempre que $p_2 = (p_1)^{1.753....}$

Mike Oakes (con error señalado por David Farmer, Dean Hickerson, Paul Jobling, Carl Pomerance, Bjorn Poonen, Noam D. Elkies )"

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NUEVO PROBLEMA:
Consideremos con más cuidado el nuevo problema para $n$ entero : $$C_1(n)= \left\lfloor\frac{(n-2)! +1}{n}\right\rfloor$$ He obtenido las primeras soluciones : $$7,29,61,139,383(?)$$

Voy a distinguir dos casos :

• $n$ no primo que es verdadero con probabilidad $\approx 1-\dfrac 1{\log(n)}$ multiplicado por el $\dfrac 1{n\,\log(n)}$ término del análisis de Mike Oakes. La contribución parcial para $n\in(n_1,n_2)$ será entonces de orden : $$\tag{1}\int_{n_1}^{n_2} \left(1-\frac 1{\log(x)}\right)\frac{dx}{x\log(x)} = \left.\log(\log(x))+\frac 1{\log(x)}\right|_{n_1}^{n_2}\approx\left.\log(\log(x))\right|_{n_1}^{n_2}$$
• para $n=p$ primar y utilizar Teorema de Wilson Tengo $\;(p-1)(p-2)!\equiv (p-1)\pmod{p}\;$ y (ya que $(p,p-1)=1$ ) $\;(p-2)!\equiv 1\pmod{p}\;$ para que $\;\displaystyle \left\lfloor \frac{(p-2)!+1}p\right\rfloor=\frac{(p-2)!-1}p$ pero $(p-2)!-1$ no puede tener divisores menores que $p-1$ y por lo tanto todavía no podemos tener divisores $<p$ cuando $p$ es primo $>3$ (otro resultado $\;(p-1)\left\lfloor \frac{(p-2)!+1}p\right\rfloor=\frac{(p-1)!+1}p-1\,$ ).
  El reparto para $n=p$ primo será por lo tanto asintóticamente el mismo que en su primer problema : $$\tag{2}e^{\gamma}\;\int_{n_1}^{n_2} \frac 1{\log(x)}\frac{\log(x)\;dx}{x\log(x)} = \left.e^{\gamma}\;\log(\log(x))\right|_{n_1}^{n_2}$$ Combinando $(1)$ y $(2)$ obtenemos un número medio de soluciones en $(n_1,n_2)$ de orden : $$\left(1+e^{\gamma}\right)(\log(\log(n_2))-\log(\log(n_1)))$$ y puede esperar una solución que va desde $n_1$ a $n_2=(n_1)^c$ avec $c=e^{1/(1+e^{\gamma})}\approx 1.433$ (en lugar de $e^{1/e^{\gamma}}\approx 1.753$ anteriormente).