Una breve pregunta: ¿por Qué no el teorema de Tychonoff (el producto arbitrario de espacios compactos es compacto) mantenga en el cuadro de topología? No sé cómo demostrar que no es finito sub-cubierta abierta la cubierta del espacio de los productos! Puede alguien por favor darme alguna sugerencia? Gracias!
Respuestas
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Considerar el espacio $2^{\mathbb{N}}$ en el cuadro de topología, donde $2=\{0,1\}$ es de dos puntos discretos en el espacio. Así, cada factor es un espacio finito, y claramente compacto. En el cuadro de topología, sin embargo, el espacio del producto $2^{\mathbb{N}}$ es discreto, ya que cada individuo secuencia $x\in 2^{\mathbb{N}}$ es el único miembro de la correspondiente conjunto abierto determinado por sus coordenadas. Así que cada punto es aislado y el espacio, es discreta. Pero no infinito espacio discreto es compacto, por lo que Tychonoff falla de la caja de la topología.
aetaur
Puntos
11
Aquí están los hechos duros fríos. Deje $(X_i)_{i \in I}$ ser una familia no vacía de vacío espacios topológicos. Deje $X = \prod_{i \in I} X_i$. Deje $P$ $X$ en el producto de la topología. Deje $B$ $X$ en el cuadro de topología.
$ A$ B \text{ es Hausdorff} \Leftrightarrow P \text{ es Hausdorff } \Leftrightarrow X_i \text{ es Hausdorff para cada uno de los } i \in I$$
$$ B \text{ is compact } \Rightarrow P \text{ is compact } \Leftrightarrow X_i \text{ is compact for each } i \in I$$
El de arriba se puede obtener usando el teorema de Tychonoff y algunos de primaria argumentos. Un par de observaciones:
- el cuadro de topología es más fina que la topología producto (mejoras de Hausdorff las topologías de Hausdorff, y viceversa compacto topologías)
- las proyecciones son continuas para $B$ $P$ (y continua de imágenes de espacios compactos es compacto)
- mediante la fijación de un punto base en X, podemos incrustar el $X_i$ a $B$ o $P$ (nota subespacios de Hausdorff de espacios de Hausdorff).
El punto de la anterior es que, si $B$ es un compacto Hausdorff espacio, entonces también lo es cada una de las $X_i$, lo que significa $P$ es un compacto de Hausdorf espacio. Pero cualquiera de los dos compacto Hausdorff topologías que son comparables deben coincidir, por lo que esto implica $P = B$.
Moraleja: si el cuadro de topología resulta ser compacto Hausdorff, entonces usted está buscando realmente en el producto de la topología.
