Cómo probar que este sub-anillo no es noetherian?

Question

Considere la posibilidad de la sub-anillo $R=k[x,xy,xy^2,\ldots]$$k[x,y]$. Quiero demostrar que la $R$ no es noetherian.

Ascendente de la cadena de ideales es la siguiente $$(x)\subset(x,xy)\subset(x,xy,xy^2)\subset\cdots$$ It is intuitively clearly to me that this is an ascending chain of ideals. But how do I prove it rigorously that $$xy^n \notin (x,xy,xy^2,\ldots,xy^{n-1})$$ o que esta cadena de ideales nunca puede stabillize?

Answer 1

Observación preliminar
Dado un polinomio $f(x,y)\in k[x,y]$, escribir $[f]_{i,j }$ para la duración del $ax^iy^j$ en el monomio $x^iy^j$.
A continuación, para una suma finita $f=\sum_lf_l$ de polinomios tenemos $[f]_{i,j }=\sum [f_l]_{i,j}$

La prueba de que $xy^n \notin (x,xy,xy^2,\ldots,xy^{n-1})$
Supongamos que $xy^n=\sum _{l=0}^{n-1}g_lxy^l$$g_l\in R$.
A partir de la observación preliminar obtenemos $$ xy^n=[xy^n]_{1,n}=[\sum _{l=0}^{n-1}g_lxy^l]_{1,n}\stackrel{prel.rem.}{=} \sum _{l=0}^{n-1}[g_lxy^l]_{1,n}=\sum _{l=0}^{n-1}[g_l]_{0,n-l}xy^l$$ But all $[g_l]_{0,n-l}=0$ since $n-l\gt0$ and all non-constant terms of a polynomial in $R$ involve a positive power of $x$.
Contradicción.

Answer 2

Definir $I:=(x, xy, ..., xy^{n-1})$. Cualquier monomio en $I$ debe contener uno de los generadores de $I$ como un factor. Decir $xy^n \in I$. Escribir $xy^n=pxy^i$ donde$0 \le i<n$$p \in R$. Desde $R$ es un dominio, podemos cancelar $xy^i$ desde ambos lados, por lo que tenemos $y^{n-i} =p \in R$.

Ahora, tome un general polinomio $f \in R$. Podemos escribir es como $c_0 + c_1x + c_2xy +\cdots$, donde el$c_i$$k$, y todos, excepto un número finito de ellos se $0$. Si $f(x, 0)=0$,$c_0=c_1=0$, lo que significa, o $f$ contiene $x$ como un factor o $f=0$. Por lo tanto, $y^{n-1} \notin R$.