Número de soluciones - por favor, compruebe mi solución?

Question

Determinar, de acuerdo con $k$ ¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones sistema de ecuaciones: $$ \begin{cases}kx+(k+1)y=k-1\\4x+(k+4)y=k\end{cases} $$ Y comprueba, para qué valores de $k$ este sistema tiene exactamente una solución que se encuentra dentro de los límites de un triángulo de vértices: $A=(0, 0), B=(\frac{2}{3}, 0), C=(0, 2)$ .

¿Puedo resolverlo usando determinantes? Es decir: $$D=k(k+4)-4(k+1)=k^2-4=(k+2)(k-2)$$ $$D_x=(k-1)(k+4)-(k+1)k=2k-4$$ $$D_y=k^2-4(k-1)=k^2-4k+4$$

Nuestro sistema tiene una solución si $D$ no es $0$ . Esto ocurre cuando $k$ no es ni $2$ ni $-2$ .

No tiene soluciones cuando $D=0$ y ( $D_x \neq 0$ o $D_y \neq 0$ ). $D=0$ para $k=2$ o $k=-2$ , $D_x \neq 0$ cuando $k \neq 2$ y $D_y \neq 0$ cuando $k \neq 2$ . Aunque para $k=2$ nuestro $D$ es igual a $0$ , ni $D_x$ ni $D_y$ es $\neq 0$ por lo que no tiene soluciones sólo cuando $k=-2$ .

Tiene infinitas soluciones para $D=0$ (que significa $k=2$ o $k=-2$ ), $D_x = D_y = 0$ . Esto ocurre cuando $k=2$ .

Resumiendo: $$ \begin{cases} \text{no solution}, &\text{for } k=-2, \\ \text{infinitely many solutions}, &\text{for } k=2, \\ \text{one solution}, &\text{for every other } k. \end{cases} $$

¿Esto está bien? Necesito saberlo antes de proceder a la cosa del triángulo.

Answer 1

En primer lugar, volvamos a la terminología habitual: Tenemos un sistema lineal $Ax=b$ con los datos $$ \pmatrix{k &k+1\\4 &k+4}\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{k-1\\k} $$ Ahora bien, si $A$ es invertible entonces existe una solución única que viene dada por $$ \pmatrix{x\\y} = \pmatrix{k &k+1\\4 &k+4}^{-1}\pmatrix{k-1\\k} = \frac{1}{k^2-4}\pmatrix{k+4 &-(k+1)\\-4&k}\pmatrix{k-1\\k} = \pmatrix{\frac{2}{k+2}\\ 1-\frac{4}{k+2}} $$ Como has calculado, la forma más fácil de concluir la invertibilidad es que el determinante sea distinto de cero. El cálculo del determinante da: $\det A = k^2-4 = (k-2)(k+2)$ Así, tenemos una solución única para todos los $|k|\neq 2$ .

En cuanto a los casos de determinante cero, veamos el sistema en esos puntos:

( $k=2$ ) $$ \pmatrix{2&3\\4&6}\pmatrix{x\\y} = \pmatrix{1\\2} $$ Podemos ver claramente que la segunda ecuación es el múltiplo 2 de la primera. Por lo tanto, en realidad sólo tenemos $2x+3y = 1$

( $k=-2$ ) $$ \pmatrix{-2&-1\\4&2}\pmatrix{x\\y} = \pmatrix{-3\\-2} $$ Podemos ver que el lado derecho no está en el rango de $A$ Por lo tanto, no hay solución. Otra forma de verlo es reescribirlo como $$ \pmatrix{-2\\4}x+\pmatrix{-1\\2}y = \pmatrix{-1\\2}(2x+y) = \pmatrix{-1\\2}\alpha = \pmatrix{-3\\-2} $$ Es obvio que ningún alfa puede satisfacer esa igualdad y, por tanto, ninguna solución.

En cuanto a la pregunta del triángulo, puedes reescribir las restricciones como $$ \pmatrix{-3 &-1\\1 &0\\0&1}\pmatrix{x\\y}\geq \pmatrix{-2\\0\\0} $$ Ahora, conecte el $k$ solución dependiente en esto y obtenemos $$ \pmatrix{1-\frac{2}{(k + 2)}\\ \frac{2}{(k + 2)}\\ 1 - \frac{4}{(k + 2)}}\geq 0 $$ Esto nos da la condición de $k$ : $$ 0\leq \frac{2}{k+2} \leq \frac{1}{2} \implies k>2 $$ Tenga en cuenta que descartamos $k=2$ ya que hay infinitas soluciones en ese caso que violan el requisito dado en la pregunta.

Answer 2

No conozco su terminología, pero la respuesta es correcta. Para $k=2$ las ecuaciones son múltiplos unas de otras. Para $k=-2$ los lados de la izquierda son múltiplos pero los derechos no lo respetan, por lo que las ecuaciones son inconsistentes.

Para la parte del triángulo, en el caso de que haya una sola solución, deberías ser capaz de expresar el punto como una función de $k$ . En otras palabras, la solución será $(f(k),g(k))$ Será una función continua de $k$ para poder encontrar los valores de $k$ en los bordes del triángulo. Para $k=2$ tienes una línea de soluciones, ¿golpea el triángulo? Sólo puede tener una única solución en el triángulo si toca uno de los vértices y lo consideras "dentro" del triángulo.