¿Varianza de la muestra?

Question

¿Cuál es la varianza de la muestra? En otras palabras, estoy buscando $\mathrm{Var}(S^2)$ .

He empezado por ampliar $\mathrm{Var}(S^2)$ en $E(S^4) - [E(S^2)]^2$

Sé que $[E(S^2)]^2$ es $\sigma$ a la potencia de 4. Y hasta ahí llegué.

Answer 1

La mejor manera de entender cómo es la varianza de una muestra es derivarla desde cero.

En la siguiente página web encontrarás la derivación completa (supera los 70 pasos) de la varianza de la muestra. Se necesita un poco de tiempo para entender completamente cómo funciona, pero si uno repasa toda la derivación varias veces queda bastante claro.

También entenderá mejor por qué el estimador de la varianza muestral propuesto es insesgado.

http://economictheoryblog.wordpress.com/2012/06/28/latexlatexs2/

Answer 2

Usaré esto como ejemplo de este teorema (de Seber, G.A. y Lee, A.J. (2012))
Dejemos que $X_1, X_2, ... , X_n$ sean rvs independientes con medias $(\theta_1, \theta_2, ... ,\theta_n)$ ,común $\mu_2,\mu_3,\mu_4$ . Si A es una matriz simétrica n x n cualquiera y $a$ es un vector columna de los elementos diagonales de A, entonces
$$var[X'AX]=(\mu_4-3\mu^2_2)a'a+2\mu^2_2tr(A^2)+4\mu_2\theta'A^2\theta+4\mu_3\theta'Aa $$ denotan $1_n$ como vector de columnas n-dim que todos los elementos son 1, observe que para la varianza de la muestra $$S^2=\frac{1}{n-1}X'AX, where A=I_n-\frac{1}{n}1_n1_n' $$ y tenemos $A^2=A$ , $a=(1-\frac{1}{n})1_n$
desde $X_i$ en nuestro caso son iid, digamos que su media es $\mu$ entonces $\theta=\mu1_n$
por lo que el tercer y cuarto término es $0$ ya que $$ A^2\theta=A\theta=\mu(1_n-\frac{1}{n}1_n(1_n'1_n))=0\\ Aa=(1-\frac{1}{n})(1_n-\frac{1}{n}1_n(1_n'1_n))=0 $$ entonces $$ var[S^2]=\frac{1}{(n-1)^2}[(\mu_4-3\mu_2^2)(1-\frac{1}{n})^2n+2\mu_2^2(n-1)]=\frac{\mu_4}{n}-\frac{n-3}{n(n-1)}\mu_2^2 $$