¿Qué tiene de malo este ejercicio de Geometría Diferencial de do Carmo?

Question

Este es un ejercicio de Geometría Diferencial de do Carmo:

Dejemos que $\alpha : I \longrightarrow S$ sea una curva parametrizada por la longitud de arco $s$ con curvatura no nula. Consideremos la superficie parametrizada $$\begin{align}\textbf{x}(s,v)=\alpha(s)+vb(s), & s \in I, -\epsilon < v < \epsilon, \epsilon > 0\end{align}$$ donde $b$ es el vector binormal de $\alpha$ . Demostrar que si $\epsilon$ es pequeño, $\textbf{x}(I \times (-\epsilon, \epsilon)) = S$ es una superficie regular sobre la que $\alpha(I)$ es una geodésica ( por tanto, toda curva es una geodésica en la superficie generada por sus binormales ).

Un erratas en línea dice que la primera conclusión de este ejercicio es errónea:

p. 262. Ejercicio 17: La primera conclusión es falsa: Puede ocurrir que para todo $\epsilon > 0$ el conjunto $\textbf{x}(I \times (-\epsilon,\epsilon))$ no es una superficie regular. (Considere una curva $\alpha : (0,1) \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $\alpha(s)$ se acerca a $(0,0,0)$ desde la misma dirección que $s \rightarrow 0^+$ o $s \rightarrow 1^-$ y tal que la parte de $\alpha$ cerca de $s=0$ está contenida en un plano, y la parte de $\alpha$ cerca de $s=1$ está contenida en un plano diferente).

No entiendo muy bien el contraejemplo de la fe de erratas. ¿Puede alguien ayudar a construir explícitamente la curva $\alpha$ ?

Answer 1

En el ejercicio original se supone que la curva $\alpha$ es una curva de Frenet, es decir, su segunda derivada por la longitud de arco no desaparece nunca. En caso contrario, el vector binormal no está definido. Si hay un salto en el vector binormal entonces habrá una curva en la superficie. Por tanto, no es realmente una superficie diferenciable.