Este es un ejercicio de Geometría Diferencial de do Carmo:
Dejemos que $\alpha : I \longrightarrow S$ sea una curva parametrizada por la longitud de arco $s$ con curvatura no nula. Consideremos la superficie parametrizada \begin{align}\textbf{x}(s,v)=\alpha(s)+vb(s), & s \in I, -\epsilon < v < \epsilon, \epsilon > 0\end{align} donde $b$ es el vector binormal de $\alpha$ . Demostrar que si $\epsilon$ es pequeño, $\textbf{x}(I \times (-\epsilon, \epsilon)) = S$ es una superficie regular sobre la que $\alpha(I)$ es una geodésica ( por tanto, toda curva es una geodésica en la superficie generada por sus binormales ).
Un erratas en línea dice que la primera conclusión de este ejercicio es errónea:
p. 262. Ejercicio 17: La primera conclusión es falsa: Puede ocurrir que para todo $\epsilon > 0$ el conjunto $\textbf{x}(I \times (-\epsilon,\epsilon))$ no es una superficie regular. (Considere una curva $\alpha : (0,1) \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $\alpha(s)$ se acerca a $(0,0,0)$ desde la misma dirección que $s \rightarrow 0^+$ o $s \rightarrow 1^-$ y tal que la parte de $\alpha$ cerca de $s=0$ está contenida en un plano, y la parte de $\alpha$ cerca de $s=1$ está contenida en un plano diferente).
No entiendo muy bien el contraejemplo de la fe de erratas. ¿Puede alguien ayudar a construir explícitamente la curva $\alpha$ ?
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Quizás algo así: las dos parábolas parametrizadas como $(t,t^2,0)$ y $(t,0,t^2)$ son ambas tangentes a la $x$ -en el origen, pero se acercan al origen en planos diferentes. No es que este sea un ejemplo de la curva que menciona, pero así es como podría ocurrir.