Mentira álgebra $\implies$ Mentira grupo?

Question

La mentira del tercer teorema dice que cada finito-dimensional Mentira álgebra g sobre los números reales se asocia a una Mentira grupo G. Para decir que tengo un $r-$ parámetro grupo de simetrías cuyas tangentes a la identidad formar una Mentira álgebra, podemos concluir que el grupo es una Mentira grupo?

Como un ejemplo de por qué estoy preguntando, considerar el ODE $y''=y'$. Tiene un $2-$grupo de parámetros de simetría de las transformaciones dadas por $y\to \epsilon y$, e $y\to y+t$. No es claro para mí que esto forma una Mentira grupo, ya que las transformaciones no conmutan y no puedo ver una suave estructura. Sin embargo, sus generadores, dado por $\partial_y,y\partial_y$ forma un álgebra de la Mentira.

Answer 1

Sólo decir $\partial_y$ $y\partial_y$ son infinitesimales generadores está suponiendo implícitamente una suave estructura de tu Mentira grupo$G,$, por lo que no creo que este es el enfoque correcto. Aquí hay otra.

En primer lugar, debemos notar $y\mapsto \epsilon y$ $\epsilon=0$ da un no invertible transformación, por lo que queremos $G$ a subyacentes suave colector $\mathbb{R}^*\times \mathbb{R},$$\mathbb{R}^2$. Si representamos $y\mapsto \epsilon y+t$$(\epsilon,t)$, entonces su inverso $y\mapsto \epsilon^{-1}(y-t)=\epsilon^{-1}y-\epsilon^{-1}t$ está dado por $(\epsilon^{-1},-\epsilon^{-1}t)$, y la multiplicación de la ley de darse cuenta de $y\mapsto \epsilon y+t\mapsto \epsilon'\epsilon y+\epsilon' t+t'$$(\epsilon,t)(\epsilon',t')=(\epsilon\epsilon',\epsilon't+t')$. Pero estos son lisas mapas en $\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}$ con la habitual suave estructura: sólo son polinomios y racional mapa con sus polos fuera del dominio.