¿Qué relación hay entre los valores propios y los vectores de operador lineal $T$ y la composición de la $A T$ o $T A$? Yo también estoy interesado en resultados análogos para la enfermedad vesicular porcina.
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Matthew Scouten
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Los autovalores de a $AT$ $TA$ son los mismos. $\det(AT) = \det(A)\det(T)$, por lo que el producto (contando multiplicidades) de los autovalores de a $AT$ $\det(A)$ veces el producto para $T$. Yo no creo que haya mucho más que decir. Por ejemplo, considere el $A = \pmatrix{0 & 1\cr 1 & 0\cr}$ y $T = \pmatrix{1 & t\cr 0 & 1\cr}$, $AT = \pmatrix{0 & 1\cr 1 & t\cr}$. El único autovalor de a$T$$1$; para cualquier valor distinto de cero $\lambda$ usted puede elegir $t=\lambda - 1/\lambda$, de modo que $\lambda$ $1/\lambda$ son los autovalores de a $AT$.
Keivan
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Friedland ha demostrado lo siguiente sobre el complejo campo:
Si el director menores de $A$ no son cero, entonces para cada conjunto de $n$ números de $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ existe una matriz diagonal $B$ tal que $BA$ $\lambda_i$'s como valores propios.
Más tarde Dias da Silva extendido a cualquier algebraicamente cerrado de campo.
Indicar los valores propios de a $T,A,TA$ $\lambda_1,\lambda_2, \ldots, \lambda_n, \mu_1,\mu_2, \ldots, \mu_n, \nu_1,\nu_2, \ldots, \nu_n$, respectivamente. ¿Qué relaciones existen entre ellos ? Hay varios fácil de restricciones :
(1) debemos tener $\prod_{k=1}^{n} \lambda_k\mu_k=\prod_{k=1}^{n}\nu_k$ porque ${\sf det} (TA)={\sf det} (T) {\sf det} (A)$.
(2) debemos tener $k_{\nu} \geq {\sf max }(k_{\lambda},k_{\mu})$, donde denotamos por a $k_{\lambda},(k_{\mu},k_{\nu})$ el número de índices de $i$ tal que $\lambda_i$ (o $\mu_i,\nu_i$ respectivamente), es cero (esto es debido a que ${\sf rank}(AT) \leq {\sf min}({\sf rank}(A),{\sf rank}(T))$${\sf rank}(T)=n-k_{\lambda}$).
(3) Si uno de $A,T$ o $AT$ es un homothety, a continuación,$\lbrace \nu_{k} \rbrace_{1 \leq k \leq n}=\lbrace \lambda_k\mu_k \rbrace_{1 \leq k \leq n}$.
Creo que no hay otras restricciones, además de los tres de arriba.
Realmente puedo probar esto por un "genérico" ejemplo : suponga $n=2$, e $\lambda_1\mu_1\lambda_2\mu_2=\nu_1\nu_2$ (para asegurar que (1)), y $\lambda_1 \neq \lambda_2, \mu_1 \neq \mu_2, \nu_1 \neq \nu_2$ (a asegurar (3)).
A continuación, considere la posibilidad de las dos matrices
$$ P=\bigg( \begin{matrix} (\nu_1-\lambda_1\mu_2) & (\nu_1-\lambda_1\mu_1)\\ (\nu_1-\lambda_2\mu_2) & (\nu_1-\lambda_2\mu_1)\\ \end{de la matriz} \bigg), $$
$$ Q=\bigg( \begin{matrix} (\nu_1-\lambda_2\mu_1)(\nu_1-\lambda_2\mu_2) & -(\nu_1-\lambda_1\mu_1)(\nu_1-\lambda_1\mu_2) \\ (\nu_2-\lambda_2\mu_1)(\nu_1-\lambda_2\mu_2) & -(\nu_2-\lambda_1\mu_1)(\nu_1-\lambda_1\mu_2) \\ \end{de la matriz} \bigg) $$ Tenemos $$ {\sf det}(P)=\nu_2(\lambda_2-\lambda_1)(\mu_2-\mu_1), $$
$$ {\sf det}(Q)=\mu_1(\lambda_2-\lambda_1)(\nu_2-\nu_1)(\nu_1-\lambda_1\mu_2)(\nu_1-\lambda_2\mu_2) $$ de modo que $P$ $Q$ son tanto inversible siempre $\mu_1\neq 0,\nu_2\neq 0, \nu_1 \not\in \lbrace \lambda_1\mu_1, \lambda_1\mu_2 \rbrace$. Si ponemos $$ L={\sf diag}(\lambda_1,\lambda_2), M={\sf diag}(\mu_1,\mu_2), N={\sf diag}(\nu_1,\nu_2) $$ a continuación, $QLPM=NQP$ (GP puede comprobar esto), por lo que el $LPMP^{-1}=Q^{-1}NQ$. Si ponemos $T=L$, $A=PMP^{-1}$, a continuación, $T$ tiene los autovalores $\lambda_1,\lambda_2$, $A$ tiene los autovalores $\mu_1,\mu_2$, $TA$ tiene los autovalores $\nu_1,\nu_2$.
