Si $\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$ con la desigualdad de $a,b,c$, Demuestran que, a $\dfrac{a}{(b-c)^2}+\dfrac{b}{(c-a)^2}+\dfrac{c}{(a-b)^2}=0$

Question

Si $\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$ con la desigualdad de $a,b,c$, Demuestran que, a $\dfrac{a}{(b-c)^2}+\dfrac{b}{(c-a)^2}+\dfrac{c}{(a-b)^2}=0$

Yo no podía abordar el problema a todos aunque creo que podría haber hecho algo por el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad, pero no podía tirar de esto juntos. Por favor, ayudar.

Answer 1

Suponiendo

$$\frac a{b-c}+\frac b{c-a}+\frac c{a-b}=0$$

también tenemos

$$\frac a{(b-c)^2}+\frac b{(c-a)(b-c)}+\frac c{(a-b)(b-c)}=0$$

así como

$$\frac a{(b-c)(a-b)}+\frac b{(c-a)(a-b)}+\frac c{(a-b)^2}=0$$

y

$$\frac a{(b-c)(c-a)}+\frac b{(c-a)^2}+\frac c{(a-b)(c-a)}=0$$

Estos tres juntos como suma

$$\frac a{(b-c)^2}+\frac b{(c-a)^2}+\frac c{(a-b)^2}\\+\frac {a+c}{(a-b)(b-c)}+\frac {a+b}{(c-a)(b-c)}+\frac{b+c}{(c-a)(a-b)}=0\tag 1$$

Con los tres más tarde fracciones, podemos multiplicar por $1$ como sigue:

$$\frac {(a+c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac {c^2-a^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

Haciendo esto para cada uno de los rendimientos

$$\frac {c^2-a^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac {b^2-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac {a^2-b^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$$

Esta equivalencia debe ser claro por la inspección, que transforma $(1)$ en

$$\frac a{(b-c)^2}+\frac b{(c-a)^2}+\frac c{(a-b)^2} = 0$$

Answer 2

Usted sólo necesita probar que $$\begin{multline} \left(\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b}\right)\left(\frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a} + \frac{1}{a - b}\right) \\ = \frac{a}{(b - c)^2} + \frac{b}{(c - a)^2} + \frac{c}{(a - b)^2} \end{multline}$$

---

Żde donde viene?
Así, consideran que esta igualdad simple $$\frac{a}{b, c}\left(\color{verde}{\frac{1}{c} + \frac{1}{a - b}} + \frac{1}{b, c}\right) = \color{verde}{\frac{ac - ab}{(a - b)(b - c)(c - a)}} + \frac{a} {b - c)^2}$$

Cuando usted toma cíclica suma de los laterales izquierdo y derecho, la primera fracción en RHS desapareciera.

En otras palabras, podemos escribir 2: $$\begin{align} \frac{b}{c - a}\left(\frac{1}{b - c} + \frac{1}{a - b} + \frac{1}{c - a}\right) = \frac{ab - bc}{(a - b)(b - c)(c - a)} + \frac{b}{(c - a)^2} \\ \frac{c}{a - b}\left(\frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a} + \frac{1}{a - b}\right) = \frac{bc - ac}{(a - b)(b - c)(c - a)} + \frac{c}{(a - b)^2} \end{align}$$

Tres últimas ecuaciones se añade a la primera ecuación desde los grandes fracciones de la derecha después del signo igual cancelar.

Answer 3

Vamos

$$T_1=\sum_{cyc} \frac{a}{b, c}$$

Por hipótesis tenemos $T_1=0$, pero si le ponemos $T_2=T_1(ab+ac+bc-a^2-b^2-c^2)$, tenemos

$$T_2=\sum_{cyc} \frac{a(ab+ac+bc-a^2-b^2-c^2)}{b, c}$$

$$T_2=\sum_{cyc} \frac{a^2b}{b, c}+ \sum_{cyc} \frac{a^2c}{b, c}+ \sum_{cyc} \frac{abc}{b, c}- \sum_{cyc} \frac{a^3}{b, c}- \sum_{cyc} \frac{ab^2}{b, c}- \sum_{cyc} \frac{ac^2}{b, c}$$

$$T_2=\sum_{cyc} \frac{a^2b}{b, c}+ \sum_{cyc} \frac{a^2b}{c, b}+ \sum_{cyc} \frac{abc}{b, c}- \sum_{cyc} \frac{a^3}{b, c}- \sum_{cyc} \frac{ab^2}{b, c}- \sum_{cyc} \frac{ab^2}{c-b}$$

$$T_2= \sum_{cyc} \frac{abc}{b, c}- \sum_{cyc} \frac{a^3}{b, c} =\sum_{cyc} \frac{a(bc-a^2)}{b, c}$$

$$T_2=\sum_{cyc} \frac{a(bc-a^2)}{b, c} +\sum_{cyc} \frac{-a^2b}{b, c} +\sum_{cyc} \frac {- ^2c}{b, c}$$

y por lo tanto

$$T_2=\sum_{cyc} \frac{a(b-a)(c-a)}{b, c}= -\sum_{cyc} \frac{a(a-b)(c-a)}{b, c}$$

Así que si ponemos $T_3=\frac{T_2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$, vemos que

$$T_3=-\sum_{cyc} \frac{a} {b-c)^2}$$

y hemos terminado.