¿Qué es (a) la geometría?

Question

No hay duda de lo que es la topología y de lo que trata: se trata de topologías (= espacios topológicos), y eso es todo.

Tampoco hay duda de qué es el álgebra (universal) y de qué se trata. (Entre otras cosas, se trata de álgebras).

Pero, ¿qué es geometría ¿y de qué se trata? ¿Existe una definición exhaustiva y generalmente acordada de una geometría (= estructura geométrica) comparable a la definición inequívoca de una topología o un álgebra?

Answer 1

Por lo general, la geometría consiste en un espacio topológico subyacente (un colector, por ejemplo) y unos estructura en este espacio. La estructura es una analogía de alguna herramienta -como una regla o un compás- que permite ver más que lo que ve la topología. Puede ser algo que le permita, por ejemplo, "medir ángulos y distancias" (geometría riemanniana), o "sólo medir ángulos" (geometría conforme), o "ver qué son líneas y qué no son líneas" (geometría proyectiva), o algún otro análogo más abstracto de una "regla y un compás".

Por lo que he aprendido, el Geometría de Cartan - que define la geometría como un haz principal sobre una variedad con alguna Conexión de Cartan - generaliza tanto la geometría kleiniana como la riemanniana en algún sentido; un libro donde se explica esto es Sharpe: La generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein .

La razón por la que no existe una única definición universal, a diferencia de la topología, es la inmensa historia de la geometría (2500 años, frente a los 100 años de la topología).

Answer 2

Según Klein, la geometría puede considerarse como la acción de un grupo sobre un espacio, ya sea liso o finito. Véase ce . Es decir, un geometría en un conjunto $X$ es un triple $(X,G,A)$ , donde $G$ es un grupo con acción $A$ en $X$ .

Answer 3

La respuesta a su pregunta, "¿Existe una definición exhaustiva y generalmente acordada de una geometría?", es negativa: No existe tal definición . Por ejemplo, el punto de vista de Klein (de 1872), estaba anticuado en el momento en que se propuso, ya que no cubría la emergente Geometría riemanniana que estaba (en ese momento) en sus inicios, así como geometría algebraica que, en su momento, fue vigorosamente desarrollado por la escuela italiana (y Cayley y muchos otros). Y lo que es peor, Klein ni siquiera cubrió la geometría intrínseca de las superficies de Gauss que, por aquel entonces, estaba razonablemente bien establecida.

En el mejor de los casos, se puede dar una lista (ciertamente incompleta) de varias ramas de las matemáticas, que se denominan a sí mismas geometría :

1. Geometría métrica.

2. Geometría riemanniana.

3. Geometría pseudo-riemanniana.

4. Geometría simpléctica.

5. Geometría de contacto.

6. Geometría de las foliaciones.

7. Estudio de estructuras geométricas localmente homogéneas en el sentido de Ehresmann (por ejemplo, estructuras proyectivas planas, estructuras afines planas, etc.).

8. Geometría de la incidencia y geometría de los edificios a la J.Tits.

9. Geometría algebraica.

10. Geometría no conmutativa de A.Connes.

Muchas (puntos 2, 3, 4, 5, 6), pero definitivamente no todas, de estas geometrías, pueden ser puestas bajo el paraguas de la definición de Cartan de una estructura geométrica como una suave $n$ -manifold $M$ equipado con una reducción del haz de marcos a su $G$ -subbundle, donde $G$ es un subgrupo cerrado de $GL(n,R)$ .

(La definición de geometría propuesta por Klein encaja como un pequeño subcampo de todos estos elementos; se ocupa exclusivamente de, lo que ahora llamamos, espacios homogéneos .)

Todos estos campos tienen algunas características comunes y, sin embargo, se resisten a una definición común. La definición sugerida por Lurie se basa principalmente en consideraciones y aplicaciones algebrogeométricas y es demasiado amplia para separar la "geometría" de la "topología" (la categoría de espacios topológicos encaja cómodamente en el marco de Lurie).

Editar. El Centro Simons de Geometría y Física tiene una página llamada " ¿Qué es la geometría? "que cuenta con varios destacados geómetras, topólogos y físicos que intentan responder a la pregunta del título (Sullivan, Donaldson, Vafa...) y (como es lógico) no consiguen nada parecido a una respuesta. (Aunque, diría, Fukaya es quien más se acerca).

Answer 4

J.W. Cannon también dio una definición:

"Una geometría es un espacio topológico dotado de una métrica de trayectoria propia".

También dio una definición de la acción de un grupo geométrico:

"Una acción [de grupo] es geométrica [sobre un conjunto S] si S es una geometría y la acción es isométrica, cocompacta y adecuadamente discontinua".

Estas definiciones pueden ser apropiadas para trabajar en la teoría geométrica de grupos.

Ver: J. W. Cannon. Geometric group theory. En Handbook of Geometric Topology. Elsevier, 2002. (En particular, p. 271-272).

(Añadido más de un año después:)

En realidad, incluso diría que "una geometría" es lo mismo que un espacio métrico. Esta me parece la noción más genérica de "una geometría", de la que todas las demás geometrías particulares son especializaciones.

Answer 5

El término espacio geométrico se utiliza a veces como sinónimo de espacio anillado localmente es decir, un espacio topológico $X$ junto con una gavilla $\mathcal F$ de anillos en $X$ de manera que los tallos de $\mathcal F$ son anillos locales. Esto sugiere que la geometría debe ser el estudio de los espacios geométricos; es decir, de los espacios localmente anillados. Los manifiestos, las superficies de Riemann, las variedades y los esquemas son ejemplos de espacios con anillos locales.

Por supuesto, esta idea ignora el hecho de que el espacio localmente anillado de, por ejemplo, una variedad tiene poca relación con gran parte de lo que hacemos en geometría (métricas riemannianas, ángulos, geodésicas, etc.) Pero lo mismo podría decirse de gran parte de la topología.

Otro posible defecto de esto es que hay ejemplos de objetos geométricos interesantes, como gavillas en sitios y pilas algebraicas que no son ejemplos de espacios localmente anillados.