¿Cuándo un espacio de moduli grueso es también un espacio de moduli fino?

Question

Dado un problema de moduli, parece que la no existencia de automorfismos es una condición necesaria para la existencia de un espacio de moduli fino (¿es esto estrictamente cierto?).

En cualquier caso, suponiendo lo anterior, ¿qué condición adicional sobre un problema de módulos en geometría algebraica asegurará que un espacio de módulos grueso es de hecho un espacio de módulos fino?

En la página de n-lab sobre Deligne-Mumford, aparece lo siguiente.

Las pilas de Deligne-Mumford corresponden a problemas de módulo en los que los objetos parametrizados tienen grupos de automorfismo finitos.

Además, algunos ejemplos problemáticos de los que he oído hablar, tenían grupos de automorfismo infinitos.

Por lo tanto, ¿es cierto que para un problema de módulos en el que la pila es Deligne-Mumford, y donde no hay automorfismos, la existencia de un espacio de módulos grueso implicaría la existencia de un espacio de módulos fino?

Answer 1

IIRC hay un ejemplo debido a Gabber en el libro de Katz y Mazur de un problema de moduli representable donde los objetos tienen automorfismos (me olvido del truco---quizás lo manipuló para que cada objeto tuviera precisamente 2 automorfismos). Pero por otro lado hay teoremas de la forma "un problema de moduli 'razonable' que es representable tiene la propiedad de que los objetos no tienen automorfismos" en la misma página. Si no me falla la memoria, "razonable" en este caso es "relativamente representable sobre la pila de curvas elípticas". No estoy en el trabajo así que no puedo seguir esto y decir algo más preciso.

Según tengo entendido, si tienes una pila D-M y los objetos no tienen automorfismos, entonces tienes un espacio algebraico. Pero aquí hay gente que sabe mucho más que yo sobre este tipo de cosas.

Answer 2

Creo que este es un instructivo pregunta. Aquí están algunas respuestas parciales.

Una categoría fibrado en groupoids cuyas fibras son conjuntos (por ejemplo, no automorfismos) es un presheaf. Estrictamente hablando, me refiero equivalente a la fibrado categoría asociada a un presheaf. Esta verdaderamente sigue a partir de las definiciones, y es un buen ejercicio para hacer cuando uno está aprendiendo la maquinaria básica detrás de las pilas. Del mismo modo, una pila que es equivalente a un presheaf es una gavilla (es decir, el descenso de la condición se derrumba a la gavilla condición; esto es un poco más difícil, pero todavía tautológica). Y un pre-stack sin automorfismos es separada de pre-pliegos.

Los otros afirman que es más interesante, y no tautológica, y refleja el hecho de que la diagonal de una de morfismos de pilas es mucho más interesante que en el caso de los esquemas. Por ejemplo, una expresión algebraica de la pila es DM iff su diagonal es unramified. (Creo que esto es en Campos Algebriques, pero hay una buena discusión en Anton notas de Martin Olsson las pilas de curso.

El punto es que la diagonal de una pila que lleva la información acerca de automorfismos de los objetos que se parametrice. Así, por ejemplo, la condición (en la definición de una pila) que la diagonal es representable es equivalente a la afirmación de que Isom(X,Y) (y por lo tanto Aut(X)) es representable por una expresión algebraica de espacio. También tautológica es la declaración de que la diagonal se unramified es equivalente a la afirmación de que no hay infintesmal automorfismos (por ejemplo no trivial de automorfismos de un objeto sobre $k[\epsilon]/\epsilon^2$ que reducir a la identidad mapa sobre $k$). Así que aquí es donde uno utiliza la finitud: la $k[\epsilon]/\epsilon^2$ puntos de un número finito de grupos de esquema son las mismas que las $k$ puntos; por otro lado esta la falla si el automorphism esquema es, decir, $\mathbf{G}_m$.

Finalmente, mientras que el tautológica respuesta anterior responde a su pregunta, es instructivo ver cómo automorfismos causa $M_g$ (módulos de género curvas g) a no ser representable. Deje que H sea un hyperelliptic curva dada por $y^2 = f(x)$ definida sobre un campo de $k$. A continuación, la curva de $H_d$ $dy^2 = f(x)$ no es isomorfo a $H$ $k$ si d no es un cuadrado en k. Llamar a esto un `twist' de H; en general giros de una variedad X están dadas por el Galois cohomology grupo$H^1(G_k,Aut X)$, lo que es distinto de cero no trivial de situaciones (como alternativa, puede utilizar torsors y etale cohomlogy), y un genérico hyperelliptic curva tiene automorphism grupo $\{\pm 1\}$. Por lo tanto H y $H_d$ dar dos diferentes $k$ $M_g$ que se convierten en el mismo punto a través de una extensión finita; lo $M_g$ falla la gavilla condición en la etale topología, (y en general de la existencia de automorfismos causas, por cohomological razones, el fracaso de sus módulos problema a pesar de ser una gavilla).

Último comentario (para aclarar los comentarios de los demás): bellas espacio de moduli sin duda debe permitir algebraicas espacios para una correcta respuesta a su pregunta.

Answer 3

Ya que nadie dio una referencia, sin embargo, en mi papel de "Artithmetic de los módulos de la generalizada curvas elípticas" que incluyó una prueba de que una Artin pila de cuyos puntos geométricos han trivial automorphism esquemas es necesariamente una expresión algebraica de espacio. Ver Teorema 2.2.5(1) no; estoy seguro de que este es un folclore hecho (que he insertado ahí, porque yo no sabía de referencia, y para mi sorpresa, parece no estar indicado en el L-MB libro). Así que las respuestas a la pregunta original: si los módulos se trata de un problema Artin pila y una gruesa espacio de moduli existe, entonces es un buen espacio de moduli (lo que significa que los módulos problema algebraica de espacio) si y sólo si los objetos más algebraicamente cerrado campos trivial automorphism esquemas (más fuerte que simplemente trivial automorphism los grupos, excepto en el DM caso cuando equivalentes desde entonces, estos grupos son etale).

Escribí ese papel en los días antes de que me di cuenta de que no qs algebraicas, espacios de sentido, así que tuve la convención en todo (después de la L-MB libro) que las diagonales son separados y, especialmente, cuasi-compacto. No he vuelto a visitar la prueba para ver el efecto de debilitamiento de estos supuestos (especialmente el q-c de la asunción) en la diagonal. Que debo hacer eso algún día.

Answer 4

Si tu pregunta es "si tengo una pila de Deligne-Mumford en la que todos los puntos tienen grupo de automorfismo trivial, ¿es isomorfa a cualquier espacio de moduli grueso para esa pila?", entonces la respuesta es sí. Como dice Kevin, una pila D-M sin automorfismos no es más que un espacio algebraico, y el mapa a un espacio de moduli grueso, por definición, es universal entre los mapas a espacios algebraicos.

Si esto parece demasiado fácil, es porque suponer que un problema de módulos concreto tiene una solución dada por una pila D-M es pedir mucho. No es necesariamente algo fácil de demostrar.