Fallo de elección solo para conjuntos por encima de cierto rango

Question

Sea $\alpha$ un ordinal. ¿Cómo podemos mostrar que la siguiente teoría es consistente?

$\mathrm{ZF}$ + "existe un conjunto con rango mayor que $\alpha$ que no está bien ordenado" + "cada conjunto de rango menor que $\alpha$ está bien ordenado".

Answer 1

La idea es elegir $\kappa$ que es lo suficientemente grande, y no inyecta en $V_\alpha$ . A continuación, añadimos subconjuntos a $\kappa$ y utilizarlos para generar subconjuntos de $2^\kappa$ que no puede ser bien ordenado. Estos no pueden ser incrustados en $V_\alpha$ tampoco, así que terminamos nuestra prueba.

Comenzamos con el forzamiento $P$ cuyas condiciones son funciones de $\kappa\times\kappa$ en $2$ con dominio de cardinalidad $<\kappa$ . $q$ es más fuerte que $p$ si $p\subseteq q$ y lo denotamos por $q\leq p$ .

Fácilmente, el forzamiento añade $\kappa$ nuevos subconjuntos para $\kappa$ . Pero el forzamiento es $\kappa$ -cerrado (o $<\kappa$ -cerrado, dependiendo de su sabor de la terminología) por lo que no añade ningún subconjunto a cualquier cardinal más pequeño. En particular, no añade ningún subconjunto a $V_\alpha$ por lo que no hay conjuntos de rango $\alpha$ se añaden.

Consideramos los siguientes nombres, $\dot r_\alpha=\{(p,\check\beta)\mid p(\alpha,\beta)=1\}$ , para $\alpha<\kappa$ . Estos son los nombres canónicos de los nuevos subconjuntos de $\kappa$ que se están añadiendo.

Dejemos que $\scr G$ sea el grupo de todas las permutaciones de $\kappa$ en el modelo de suelo. Aunque basta con considerar las permutaciones que sólo mueven un número finito de puntos a la vez (como demostrará el análisis del siguiente argumento). $\scr G$ actúa sobre el poset $P$ de la siguiente manera: $$\pi p(\pi\alpha,\beta)=p(\alpha,\beta).$$

Extienda esas acciones a las acciones de $P$ -nombres, definiendo $\pi\dot x=\{(\pi p,\pi\dot y)\mid (p,\dot y)\in\dot x\}$ . Ahora tenemos el siguiente lema,

El lema de la simetría: Para cada fórmula $\varphi(\dot u_1,\ldots,\dot u_k)$ y toda condición $p$ y cada $\pi\in\scr G$ : $$p\Vdash\varphi(\dot u_1,\ldots,\dot u_k)\iff\pi p\Vdash\varphi(\pi\dot u_1,\ldots,\pi\dot u_k).$$

Prueba. Inducción sobre las fórmulas y los nombres.

Ahora tome cualquier $\mu\leq\kappa$ y definiremos un modelo en el que el nombre $\dot R=\{(1,\dot r_\alpha)\mid\alpha<\kappa\}$ se interpreta que tiene el número de Hartogs $\mu$ (el menor cardinal no puede ser inyectado en el conjunto), y $\sf DC_{<\mu}$ se mantiene. En particular muestra que ese conjunto no puede estar bien ordenado, porque debería tener el número Hartogs de $\kappa^+$ .

Definir $\cal F$ para ser un filtro de subgrupos de $\scr G$ donde $H\in\cal F$ si y sólo si existe $E\subseteq\kappa$ tal que $|E|<\mu$ y todas las permutaciones en $H$ fijar $E$ en el sentido de la palabra. Definimos por inducción la clase $\sf HS$ . Dado un $P$ -nombre $\dot x$ decimos que $\dot x\in\sf HS$ si existe $H\in\cal F$ de manera que siempre que $\pi\in H$ , $\pi\dot x=\dot x$ y si cada $\dot y$ que aparece en $\dot x$ ya está en $\sf HS$ .

Si $H$ es un subgrupo que contiene el estabilizador puntual de $E$ y $H$ fija $\dot x$ decimos que $E$ es un soporte para $\dot x$ y observamos que toda permutación que fije $E$ pointwise arreglará $\dot x$ también.

Lema 1: Se mantiene lo siguiente.

1. Por cada $x$ en el modelo de suelo, $\check x\in\sf HS$ . Con $\varnothing$ como apoyo.
2. Por cada $\alpha<\kappa$ , $\dot r_\alpha\in\sf HS$ con apoyo $\{\alpha\}$ .
3. $\dot R\in\sf HS$ con el soporte vacío.

Prueba. Ejercicio.

Dejemos que $G\subseteq P$ sea un filtro genérico. Sea $V[G]$ sea la extensión genérica del universo y que $N=\{\dot x^G\mid\dot x\in\sf HS\}$ sea la interpretación de todos los nombres en $\sf HS$ .

Lema 2: $N$ es un modelo transitivo de $\sf ZF$ y $V\subseteq N$ .

Prueba. La transitividad se desprende de la definición inductiva de $\sf HS$ ; $V\subseteq N$ del primer punto del lema anterior; y $N\models\sf ZF$ porque es casi universal y cerrado bajo funciones de Goedel, pero también se pueden verificar los axiomas directamente (véase también Jech "Set Theory", 3ª eds. Ch. 15). $\square$

Teorema: En $N$ , $\sf AC$ no lo hace.

Prueba. Dejemos que $R=\dot R^G\in V$ demostraremos que no puede estar bien ordenada en $N$ como se prometió.

A partir del último punto del Lemma 1, $R\in N$ . Supongamos ahora que $f\colon \mu\to R$ es una inyección, y $f\in N$ . Existe algún nombre $\dot f\in\sf HS$ y algunos $E\in[\kappa]^{<\mu}$ tal que $\dot f=f$ y $E$ es un soporte para $\dot f$ .

Dejemos que $p$ sea una condición tal que $p\Vdash\dot f\colon\check\mu\to\dot R$ . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que para algunos $\alpha\notin E$ y algunos $\gamma<\kappa$ tenemos $p\Vdash\dot f(\check\gamma)=\dot r_\alpha$ .

Dejemos que $\alpha<\beta<\kappa$ tal que $\beta\notin E$ y no hay ordinal $\delta$ tal que $(\beta,\delta)\in\operatorname{dom} p$ . Definimos la permutación $\pi$ para cambiar entre $\alpha$ y $\beta$ y ser la identidad en todos los demás lugares.

Claramente $\pi$ fija $E$ en el sentido de la palabra y por lo tanto $\pi\dot f=\dot f$ . Por lo tanto, por el lema de simetría, $\pi p\Vdash\dot f\colon\check\mu\to\dot R$ y también $\pi p\Vdash\dot f(\check\gamma)=\dot r_\beta$ .

Si $p$ y $\pi p$ son compatibles entonces tenemos una contradicción porque $q\leq p,\pi p$ tendría que forzar que $\dot r_\alpha=\dot f(\check\gamma)=\dot r_\beta$ y también $\dot r_\alpha\neq\dot r_\beta$ ¡!

Y en efecto, si $(\xi,\zeta)\in\operatorname{dom} p$ entonces $\xi=\alpha$ y luego $\pi\xi=\beta$ y $(\beta,\zeta)\notin\operatorname{dom} p$ en absoluto; o $\pi\xi=\xi$ . Del mismo modo, para $\pi p$ intercambiando $\beta$ con $\alpha$ . Por lo tanto, las condiciones $p$ y $\pi p$ son compatibles y esto es una contradicción. $\square$

Lema de bonificación: Si $f\colon V[G]\to N$ tal que $\operatorname{dom} f<\mu$ entonces existe $\dot f\in\sf H$ tal que $\dot f^G=f$ .

Prueba. Ejercicio (tenga en cuenta que tiene que utilizar el hecho de que el forzamiento $P$ es $\kappa$ -cerrado).

Ahora trivialmente $\sf DC_{<\mu}$ tiene en $N$ porque siempre que $S$ es un subconjunto de $X^<\gamma\times X$ para una zona no vacía $X$ y $\gamma<\mu$ que satisface las condiciones de $\sf DC_{\gamma}$ existe una función $f$ siendo testigo de que en $V[G]$ y por el lema de bonificación, también está en $N$ .

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Más bibliografía:

A continuación se presenta una lista de lugares en los que se discuten estas técnicas, tenga en cuenta que los enfoques y las anotaciones difieren ligeramente de un lugar a otro.

1. Jech, " Teoría de conjuntos ", 3ª ed. (Springer 2006)
2. Jech, " El axioma de la elección ". (North-Holland 1973)
3. Dimitriou, " Modelos simétricos, patrones cardinales singulares e indiscernibles . (Tesis doctoral, Universidad de Bonn 2011)
4. Karagila, " Espacios vectoriales y anticuerpos de cardenales en modelos de teoría de conjuntos ". (Tesis de maestría, Universidad Ben-Gurion del Néguev 2012)