Lo que nunca nos enseñaron de forma explícita

Question

Me gustaría hacer una queja, la verdad. De matemáticas en la escuela(s) puede ser la manera más aburrida para aprender: sentarse y aprender de memoria binomio de expansión o el volumen de un cilindro es no sólo interesante. Parece que las escuelas no enseñan la manera interesante, con un montón de variedad y de la prueba. Tengo algunas muy hechos básicos que los estudiantes nunca se enseña explícitamente, tal vez debido a la rigidez de la educación. En cambio, los profesores parecen contar con que se cometa un error. Mi ejemplo específico es el hecho de que ab no es igual a a*b, pero (a*b).

Todos somos enseñados por el orden de las operaciones, sin embargo, la regla que indica que ab puede ser expresado como (o es la abreviatura de) a*b, está mal. Me detuvieron cuando traté de resolver un lineal de estilo de expresión como 20/2a=4 como smart-alec por primera suponiendo que esto es igual a 20/2*a=4. Esto está mal, ¿verdad? Al parecer, los términos son siempre en su propio grupo, y que esto afecta el orden de las operaciones. 20/2a=4 es el mismo que 10/(2*a)=4. El error no hubiera sido realizado mediante el uso de TeX estilo, matemáticas notación.

Mis preguntas son: ¿Estoy en lo correcto en decir ab = (a*b)? ¿Por qué son estas cosas generalmente pasado por alto? Hay otros típicos errores relacionados con el orden de las operaciones, especialmente cuando se utiliza lineales notación? Son estas cosas simplificado por los profesores como para evitar el bombardeo de los estudiantes con los 'casos especiales'?

Answer 1

Es verdad que el $a/2c$ es ambigua, si sólo se enseña que la regla de la multiplicación y de la división de venir antes de la adición y sustracción. Pero también lo es $a/2\cdot c$ entonces. Hay varias maneras de lidiar con este

1. Usted podría requerir paréntesis para ser utilizado siempre que el significado sería claro lo contrario

2. Usted podría decreto que las operaciones con el mismo nivel de prioridad se realiza de izquierda a derecha. Esto es lo que la mayoría de los lenguajes de programación de hacer, creo.

3. Se podría añadir que la regla de la multiplicación viene antes de la división.

4. Usted podría, como usted sugiere, entender la concatenación de dos variables en $ab$, a parte de una operación de la que se obtiene el mismo resultado como la multiplicación, pero tiene una prioridad más alta. Esto es lo que su idea de interpretar $ab$ $(ab)$ cantidades.

Por desgracia, la gente no estar todos de acuerdo en que de los de arriba que elegir. La mayoría de los lenguajes de programación de uso (2), creo. Matemática textos se escriben a menudo división como fracción, y así evitar este problema - el posicionamiento que aclara el significado (compare $\frac{a}{2c}$$\frac{a}{2}c$). Si el uso de una fracción no es posible para el diseño razones, se espera que el uso de (1), ya que evita la confusión. Pero en un ambiente más informal que un printen de texto, no me sorprendería encontrar su opción (4). Uno sólo puede esperar, pensó, que tal cosa no va a aparecer en las preguntas del examen! Y si lo hace, yo diría que es una razón para quejarse.

Lo que yo espero que no se tome lejos de esto es que la notación matemática no siempre es 100% precisa. El real de la matemática es exacta, pero la gente a veces descuidado acerca de cómo se escriba. Y, también, sobre cómo hablar acerca de ello.

Answer 2

La notación $x/2a$ es ambiguo, y cuando se utiliza sin paréntesis el significado que se espera a ser evidente a partir del contexto. Dicho esto, parece que más a menudo entonces no $x/2a$ está destinado a ser $x/(2a)$.

Answer 3

Hay mucho menos ambigüedad a $xyz/2abc$ que el primero parece ser el caso, debido a la heurística (básico para la conversación y la alfabetización), tales como

donde una muy alternativa diferente significado (que es de conocimiento común que el escritor y el público como un sintácticamente correcta lectura) podría haber sido declarado de forma inequívoca por un trivial de reescritura pero no fue así, probablemente no es la intención de significado

y

cuando hay un único razonable regla para el análisis de otra manera ambigua abreviaturas, uso de la regla

y

minimizar la cantidad de estructura oculta (entre paréntesis) en la respuesta y los tipos de respuestas alternativas consideradas en el alcance de la respuesta

Si alguien significa $\frac{xyzc}{2ab}$ y quiere escribir en una sola línea, sin paréntesis, que muy fácilmente puede escribir $xyzc/2ab$, en lugar de $xyz/2abc$ y basarse en conjeturas. Pero no hay manera de expresar $\frac{xyz}{2abc}$ en ese modo, excepto como $xyz/2abc$. Por lo tanto el valor predeterminado de interpretación deben ser $(xyz)/(2abc)$.

Answer 4

$ab$ es la abreviatura de $a*b$. De hecho, la primera $a*b$ es shorthanded a $a\cdot b$, entonces el punto es abandonado por completo. Esto acelera manipulaciones algebraicas y una vez que uno se acostumbra a este convenio que uno ve que es muy conveniente. En general, uno depende del uso de paréntesis para aclarar cualquier ambigüedad (o potencial ambigüedad) en expresiones algebraicas (o cualquier otro tipo de expresión).

En cuanto al problema de los maestros de simplificar demasiado las cosas (tales simplificaciones se advirtió en contra de Einstein las palabras de que "todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no un poco más sencillo"), que por desgracia sucede demasiado a menudo. Mi ejemplo favorito de la simplificación en el nivel de muy fundamental de las matemáticas es la forma en que los números reales son enseñados. El énfasis está en su representación decimal y los estudiantes sólo son bombardeados con trucos y algoritmos para calcular con números reales hasta que estén bajo la ilusión de que ellos saben lo que son. Sin embargo, la ubicuidad de la incredulidad de que el hecho de que $0.999\cdots =1$ muestra los peligros de este simplificaciones.

Otras simplificaciones incluir la regla de que el producto de dos números negativos es positivo. Esto es a menudo acaba de caer en los alumnos, sin explicación alguna de por qué esto es de hecho una consecuencia necesaria de álgebra. Se crea la ilusión de que la matemática es sólo un conjunto de reglas arbitrarias para el cálculo, la obstrucción de la lógica inherente de las matemáticas.

Otras simplificaciones están computación límites en $\infty$ conectando $\infty$ en la ecuación de la informática y con ella según algunos tontos conjunto de reglas. Esto crea en la mente del estudiante la falsa idea de que $\infty $ es de alguna manera un número. Otro ejemplo es la enseñanza de las integrales por el bombardeo de los estudiantes con las técnicas de integración, sin entender realmente lo que las integrales son. Del mismo modo, la informática, la autovalores/autovectores de forma metódica, sin entender realmente lo que está pasando. Un montón de otros ejemplos son comunes en el lugar.

Answer 5

El problema es que la división no es asociativa y, a menudo conduce a la ambigüedad. La división es realmente la multiplicación por la matriz inversa. x/2a debe ser escrito como $x{2^{ - 1}}a$, entonces no puede haber ninguna confusión. Por supuesto, los paréntesis pueden hacer todas las cosas en claro. A menudo nos causa confusión en nuestro intento de minimizar la composición tipográfica.