La heurística sugieren la asymptotics se $2C \pi(\pi(x/k)) \sim \frac{2Cx}{k (\ln x)^2}$ donde $C$ es un constante factor de corrección a cuenta del sesgo en la distribución de los $k$-sumas. La fracción de $k$-las sumas que son cero mod $p$ es ligeramente mayor que en la distribución uniforme si $k$ es impar, y un poco más si $k$ es incluso (lo cual podría causar similar factores de corrección en las preguntas, como cuando es la mitad de la suma de $4$ números primos consecutivos iguales a un primo).
El sesgo es debido a la correlación entre cerca de las sumas parciales de la secuencia de los números primos, mod $p$. Excepto cuando la adición de $p$, adyacente sumas deben ser diferentes, y el aumento de la probabilidad de dejar en un paso significa una mayor oportunidad de regresar en dos pasos. El mismo modelo de alternancia de par/impar el número de pasos perturba el uniforme de $1/p$ de probabilidades de volver al mismo lugar después de la $k$ pasos (que es el mismo evento como un $k$-suma de $0$).
Fijar un número impar $k$, y una extraña prime $p$.
Si, para los efectos de este problema,
la secuencia de los números primos, la reducción de modulo de un extraño prime $p$, se comporta como un yo.yo.d secuencia de distribuidos de manera uniforme distinto de cero residuos de mod $p$.
a continuación, la secuencia de $k$-tuplas en la $k$-sumas mod $p$ es un uniforme de paseo aleatorio en el grafo dirigido $G$ cuyos vértices son el subconjunto de $(\mathbb{Z}/p)^k$ que excluye a todos los planos de $x_i = x_{i+1}$, y los bordes unirse a $(x_1,\dots,x_k) \to (x_2,\dots,x_k, y)$$y \neq x_k$. El gráfico está fuertemente conectado y el paseo es aperiódica, por lo que no hay una única distribución estacionaria, para que el pie converge exponencialmente rápido. Para hacer el análisis más preciso podría ser importante saber si esta tasa de convergencia es uniforme en $p$, pero voy a ignorar esa complicación. La distribución estacionaria es la distribución uniforme, ya que el indegree = outdegree = $(p-1)$ de todos los vértices. Por lo tanto,
la distribución de mod $p$ de la probabilístico $k$-sumas es el mismo que el de la de $k$-suma de los vértices de $G$ (en el uniforme de distribución en $G$)
y nosotros se reduce a un problema de conteo de soluciones a $x_1 + x_2 + \dots x_k = a$ $x_i \neq 0$ mod $p$. Por medio de la inclusión-exclusión en el número de soluciones es un polinomio $P_a(t)$ evaluado en $t=p$. El polinomio es monic de grado $k-1$, no depende de la $p$, y la dependencia de la $a$ solo en el si $a=0$ o no. Por lo tanto, no son, para cada $k$, de dos polinomios contando el número de $k$-sumas con $a=0$$a \neq 0 \mod p$, que será denotado $P_k(t)$$Q_k(t)$, sujeto a las recursiones
$Q_k(t) = P_{k-1}(t) + (t-2)Q_{k-1}(t)$ $P_k(t) = (t-1)Q_{k-1}(t)$ , con condiciones iniciales $P_1(t)=0$ $Q_1(t)=1$
De curso $P_k + (t-1)Q_k = (t-1)^k$, y la recursividad muestra $P_k - Q_k= -(P_{k-1}-Q_{k-1})$ suplentes signo, de modo que $(P_k(t),Q_k(t))=(\frac{(t-1)^k + (-1)^{k}(t-1)}{t},\frac{(t-1)^k + (-1)^{k-1}}{t})$. Como comprobación de los cálculos, estos recuentos son casi iguales, en el hecho de que el sesgo es la más pequeña posible, dado que todas distinto de cero residuos de las clases deben recibir la misma desviación de la distribución uniforme. Establecimiento $t=p$ y dividiendo por $(p-1)^k$ da la asintótica proporción de cero y distinto de cero $k$-sumas mod $p$
$p_0 = \frac{1}{p} + (-1)^k \frac{1}{p(p-1)^{k-1}}$ $p_{\neq 0} = (1 - \frac{1}{p}) + (-1)^{k-1} \frac{1}{p(p-1)^{k-1}}$
de modo que, en el optimista de la asunción de rápida convergencia (de la real en el primer sumas de dinero) para que asymptotics, la densidad de $k$-las sumas que son cero mod $p$ puede ser escrito como $p_{\neq 0} = (1 - \frac{1}{p})c_p$ $c_p= 1 + \frac{(-1)^{k-1}}{(p-1)^k}$ locales término de corrección.
El infinito producto $C = \displaystyle \prod_p c_p$ converge a la presunta factor de corrección. Para $k=2$ es el doble prime constante, y no hay forma cerrada de evaluación para cualquier $k > 1$.
