$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n-1}}{n!e^n}=1?$ He notado que a $\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{1}{\sqrt[n]\frac{n^{n-1}}{n!}}}=1/e$, por lo que la serie de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n-1}}{n!}x^n$converge en $[-\frac1e,\frac1e]$, entonces supongo que para encontrar la suma de la función de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n-1}}{n!}x^n$. Sin embargo, este es sin duda difícil para mí. Podría alguien ayudarme? Sinceramente gracias por tu ayuda.
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Usted puede escribir la segunda suma, en términos de la función W de Lambert (véase, en particular https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function#Asymptotic_expansions): $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{n-1}}{n!} x^n=-W(-x)$$
Chris Benard
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La función $$W(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^{n-1} z^n}{n!}$$ es el llamado Lambert $W$ función (ver también Wikipedia), por lo que están tratando de calcular $-W(-e^{-1})$. Como Wikipedia dice, $W(-e^{-1}) =-1$, por lo que reivindica su identidad es a la derecha. De manera más general, $$z = W(z) e^{W(z)}$$ así $$-e^{-1} = W(-e^{-1}) e^{W(-e^{-1})},$$ lo que sugiere fuertemente el resultado correcto $W(-e^{-1}) =-1$.
Esto ya es, sobre todo, dijo, en par de la respuesta. Escribo más porque su lenguaje sugiere que usted piensa que un poder de la serie con un ratio de $r$ necesariamente converge en el intervalo cerrado $[-r,r]$. De hecho, usted no sabe si hay o no hay convergencia en los puntos extremos. Existe en este caso, pero esto no es obvio.
