Demostrar que para un determinado $s$ hay un número finito de Fibonacci número de formulario de $n^2+s$

Question

Es bien sabido que el último número Fibonacci $F_k$ tal que $\exists \ n \in \Bbb{N} : F_k = n^2$$144$. Por lo tanto, hay sólo $4$ cuadrados perfectos entre la secuencia de Fibonacci (suponiendo que el recuento $F_0 = 0$ y el recuento de los duplicados $F_1 = F_2 = 1$).

La ecuación $$F_k = n^2 + 4 $$ también tiene un par de soluciones ($F_5 = 1^2 + 4, F_6 = 2^2 +4, f_7 = 3^2+4$) y parece no tener otras soluciones (aunque mi prueba de que así podría tener algunos agujeros).

Bastante Difícil Pregunta

Demostrar que $$F_k = n^2 + 1 $$ y $$F_k = n^2 -1 $$ cada uno tiene sólo un número finito de soluciones para $k,n \in \Bbb{N}$.

Pregunta Desafiante

Hay valores de $s$ tal que

$$F_k = n^2 +s $$ no tiene soluciones para $k,n \in \Bbb{N}$?

Muy Desafiante Pregunta:

Demostrar que para cualquier $s \in \Bbb{Z}$ $$F_k = n^2 + s $$ tiene sólo un número finito de soluciones para $k,n \in \Bbb{N}$.

(O encontrar un contraejemplo $s$.)

Answer 1

Bastante Difícil Pregunta: Respuesta Parcial

$For\quad the\quad case\quad when\quad F_{ n }=m^{ 2 }+1,\quad F_{ n }-1=m^{ 2 }$

I. $n=4k\quad F_{4k}-1=F_{2k+1}L_{2k-1}$.

Nota: $L_{2k-1}=F_{2k+1}-F_{2k-3}$ donde $gcd(F_{2k+1},F_{2k-3})=1$ Por lo tanto, $L_{2k-1} and F_{2k+1}$ son relativamente primos, y ambos deben ser cuadrados. Sin embargo, $L_{n}$ $F_{n}$ ambos tienen sólo un número finito de soluciones cuando son de forma cuadrada. La prueba está hecho.

II. $n=4k+1\quad F_{4k+1}-1=F_{2k}L_{2k+1}$.

Nota: $L_{2k+1}=F_{2k}+F_{2k+2}$ donde $gcd(F_{2k+2},F_{2k})=1$. Por lo tanto, $L_{2k+1} and F_{2k}$ son relativamente primos, y ambos deben ser cuadrados. Sin embargo, $L_{n}$ $F_{n}$ ambos tienen sólo un número finito de soluciones cuando son de forma cuadrada. La prueba está hecho.

Si bien no he sido capaz de probar el resto, creo que siguen un patrón similar.

Fórmula Utilizada se Presenta en

Fibonacci[n]-1 es siempre compuesto por n>6. por qué?

https://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_number

Answer 2

La muy difícil cuestión se resuelva por completo en este papel. Los autores muestran que el único perfecto poderes (no sólo los cuadrados perfectos!) los que están a distancia $1$ a partir de un número Fibonacci se $0,1,2,3,5,8$.