Mentira álgebra de acción de Lie del grupo de acción: coordenadas

Question

Esta es la configuración: he a $SL(2;\mathbb{C})$ actuando en $V = \mathbb{C}[z,w] = \oplus_d V_d$ donde $V_d$ es el homogéneos complejos polinomios de grado $d$. La acción es precomposición: $\pi(g)f(z,w) = f(g^{-1}(z,w))$. Esta es una representación con $(\pi,V_d)$ un irreductible subrepresentation para cada una de las $d$.

Como una representación, se induce una $\mathfrak{sl}(2;\mathbb{C})$ acción en $V_d$ través $d\pi_\mathbb{1}:\mathfrak{sl}(2;\mathbb{C})\to \operatorname{End}(V)$. Quiero calcular $d\pi$ en las coordenadas, así que puedo escribir explícitamente hacia abajo la acción de los generadores $H,E$, e $F$ en cada una de las $V_d$.

Ingenuamente, yo haría esto: elija $z^kw^{d-k}$ como base de $V_d$, calcular $$\pi\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\in \operatorname{Aut}(V_d)\cong GL(d+1;\mathbb{C}),$$ differentiate each coordinate function of $\pi$ in each direction $\mathbb{C}^4$, y evaluar en la identidad.

Pero estoy preocupada acerca de esta estrategia. Desde $SL(2;\mathbb{C})$ es un submanifold de $GL(2;\mathbb{C})$ definido por $\ker(\det)$, $\partial_a$, $\partial_b$, $\partial_c$, y $\partial_d$ no son tangentes a $SL(2;\mathbb{C})$. No veo ninguna razón por la que este realmente me dan el $\mathfrak{sl}(2;\mathbb{C})$ acción.

Así, la pregunta:

Será este ingenuo estrategia de trabajo por razones que no veo, o debo elegir algún otro sistema de coordenadas sobre la identidad --- decir, $e^H,e^E,e^F$?

De manera más general,

Si $N\subset M$ está dado por $N = F^{-1}(0)$ donde $F:M\to X$ es un buen mapa y $0\in X$ es un valor regular, y $f:\nu N\to Y$ es un buen mapa definido en un barrio de $N$$M$, se puede calcular $d(f|_N)$ por la elección de un sistema de coordenadas en $M$ que no se restringen necesariamente a las coordenadas en la $N$ e informática $df$?

No estoy seguro de por qué estoy confundido hoy sobre esto, pero estoy. (Tal vez necesito más café.) Yo estaría muy agradecido por algo más de claridad. (También, como un aparte, si estoy equivocado acerca de la teoría de la representación que les he descrito o, dios no lo quiera, el buen colector de la teoría, te agradecería la corrección.)

Por cierto, esto es a partir de la realización de una tarea, así que por favor NO responder con la explícita $\mathfrak{sl}(2;\mathbb{C})$ acción!

Answer 1

Aunque esta pregunta ha sido respondida, permítanme añadir algo más a su pregunta general. El resultado general que preguntar acerca de es cierto incluso en menos restrictiva de las circunstancias. Supongamos $N$ es un subconjunto de a $M$ que tiene una suave estructura (no necesariamente uno inducida por la suave estructura en $M$) y de tal manera que la inclusión del mapa de $i_N:N\hookrightarrow M$ es suave. A continuación, para $f:M\rightarrow Y$ liso, $d(f|_N) = d(f\circ i_N) = df\circ di_N$, lo que implica que $d(f|_N):TN\rightarrow TY$ está determinado por $df:TM\rightarrow TY$. En su caso, desde la $0$ es un punto habitual de $F$, la suave estructura en $N=F^{-1}(0)$ inducida por que en $M$ $N$ incrustado submanifold de $M$, con el espacio de la tangente $TN \simeq di_N(TN) = \ker dF$, como usted dice.

Answer 2

BenjaLim la respuesta es correcta. Solo quiero añadir un par de afirmaciones generales.

1. Como se ilustra en la BenjaLim la respuesta, el enfoque utilitario es el uso de un hecho que, por alguna razón, me olvidé por completo: la definición de la imagen de un vector en virtud de un diferencial. Si $\gamma'(0) = v$, $$df(v) = \frac{d}{dt}|_{t=0} f(\gamma(t)).$$

2. La respuesta a la pregunta general es como sigue. Deje $p\in N$; a continuación,$\ker dF_p \cong T_pN\subset T_pM$. Para calcular los $d(f|_N)$, entonces, solo hay que calcular $\ker dF_p$ y, a continuación, su imagen en $df$. Es decir, $d(f|_N) = df|_{\ker dF}$.

3. En este caso, yo sólo tenía que calcular $\ker d(\det)$ y, a continuación, restringir el diferencial de la acción para el kernel. Por supuesto, el núcleo está recubierto por $E,F,H$, y la mejor manera de calcular la imagen de $v$ por debajo del diferencial de es $\frac{d}{dt}|_{t=0}\exp(tv)$ ... .