En doblemente funciones periódicas como teselados (aparte de los paralelogramos), hemos aprendido acerca de los Dixonian funciones elípticas. Hay 17 wallpaper grupos -- ¿hay elíptica función análogos para los otros 15 casos (que no cubierto inmediatamente por Jacobiana elíptica funciones, o Dixonian elíptica funciones, o de Weierstrass de $\wp$) (que puede ser expresada en términos de una función racional de $\wp$) ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta es una vieja cuestión, pero aún así es interesante. Aquí es una versión más precisa de la misma:
Definición. Deje que $f\colon\mathbb{C}\a\widehat{\mathbb{C}}$ ser una función de meromorphic. Un Euclidiana isometría $g\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es una simetría de $G$ si $f(g(z))=f(z)$ para todo $z\in\mathbb{C}$. El grupo de simetría de $f$ es el grupo de todas esas simetrías.
Pregunta. Para cada fondo de pantalla de grupo $G$, ¿existe un no-constante elíptica función cuyo grupo de simetría es de $G$.
La respuesta a esta pregunta es NO. En particular, es fácil mostrar que todas las simetrías de un no-constante de meromorphic función debe ser la orientación de la preservación (es decir, sin reflexiones o reflexiones se deslizan). Esto es porque la imagen de un holomorphic función bajo una orientación de la inversión isometría es una antiholomorphic función, y una función que es a la vez holomorphic y antiholomorphic debe ser constante en cada uno de los componentes de su dominio.
Por lo tanto, la única posible simetría de los grupos de $G$, son aquellos fondo de pantalla de los grupos que consisten únicamente de orientación-la preservación de isometrías. Hay cinco grupos: p1, p2, p3, p4 y p6. Voy a demostrar elíptica funciones correspondientes a cada uno. La mayoría de los siguientes resultados fueron obtenidos experimentalmente, y las conjeturas están respaldados por una cantidad limitada de evidencia experimental, que no he incluido.
Tipo p1
Este es el fondo de pantalla del grupo que consiste únicamente de las traducciones en las dos direcciones esenciales. Wikipedia se usa la siguiente imagen para ilustrar simetría p1:
Intuitivamente, un "típico" de la elíptica función debe tener simetría p1. Por ejemplo, los siguientes grácos muestran la función $\wp\,'(z)$ para el entramado generado por $1$ y $0.2+i$.
(Nota: En esta foto y todas las siguientes imágenes, de color azul oscuro indica valores negativos y la luz azul indica que los valores positivos, mientras que las regiones blancas se muestra la ubicación de las asíntotas verticales. Todos estos diagramas de contorno fueron producidos en Mathematica.)
Tipo p2
Este fondo de pantalla de los grupos consiste en traducciones, así como ciertas $180^\circ$ rotaciones. Wikipedia se usa la siguiente imagen para ilustrar p2 simetría:
(Los rombos indican los puntos con $180^\circ$ simetría.)
Curiosamente, el Weierstrass $\wp$-función siempre ha p2 simetría. Los siguientes grácos muestran la función $\wp(z)$ para el entramado generado por $1$ y $0.2+i$.
(Hay $180^\circ$ simetría alrededor de cada uno de los puntos marcados.)
De manera más general, deje de $G$ ser el p2 grupo que consiste de las traducciones, junto con los $180^\circ$ rotaciones en cada punto de la red generada por la mitad-períodos, incluyendo el origen. Entonces yo conjetura de que una elíptica función será invariante bajo la acción de $G$ si y sólo si puede ser expresado como una función racional de $\wp(z)$ solo (sin la intervención de $\wp\,'(z)$).
Esto no incluye a todos los elíptica función con p2 simetría, debido a que este conjunto no es cerrado bajo la traducción. En particular, se puede "traducir" cualquier función con p2 simetría por cualquier cantidad en absoluto para obtener otra función con p2 de la simetría. El grupo de simetría de esta traducido de la función será un conjugado de $G$ (específicamente, el conjugado de $G$ por la traducción utilizada).
Tipo p4
Este fondo de pantalla de grupo sólo tiene sentido para la plaza de celosía. Implica traducciones, así como varios $90^\circ$ y $180^\circ$ rotaciones. Wikipedia se usa la siguiente imagen para ilustrar p4 simetría:
(El rojo y el verde los cuadros representan los puntos de con $90^\circ$ simetría de rotación, y la púrpura de los rombos representan puntos con $180^\circ$ simetría de rotación.)
Para obtener una función elíptica con p4 simetría, debemos utilizar una plaza de celosía, por ejemplo, el entramado generado por $1$ y $i$. En este caso, el cuadrado de la Weierstrass $\wp$-función p4 simetría. Los siguientes grácos muestran $\wp(z)^2$ para el entramado generado por $1$ y $i$.
(Hay $90^\circ$ simetría alrededor de los puntos rojos y verdes, y $180^\circ$ simetría alrededor de la púrpura puntos).
De manera más general, deje de $G$ ser el p4 grupo de simetría con un $90^\circ$ rotación en el origen. Entonces yo conjetura de que una función elíptica para una plaza de celosía es invariante bajo $G$ si y sólo si puede ser representada como una función racional de $\wp(z)^2$. (Y luego de cada función elíptica con p4 simetría pueden ser obtenidos a partir de estos por la traducción).
Tipo p3
Este fondo de pantalla de grupo sólo tiene sentido para la red hexagonal. Implica traducciones, así como varios $120^\circ$ rotaciones. Wikipedia se usa la siguiente imagen para ilustrar p3 simetría:
(Los triángulos representan los puntos de con $120^\circ$ simetría de rotación.)
Esta parece ser la simetría de los Dixon funciones elípticas. Sin embargo, no es difícil hacer una función elíptica con p3 simetría directamente de Weierstrass $\wp$-funciones. Usar el entramado generado por $1$ y $e^{i\pi/3}$, la función $\wp\,'(z)$ p3 simetría:
(No es de $120^\circ$ simetría alrededor de cada uno de los puntos marcados.)
De manera más general, deje de $G$ ser el p3 grupo de simetría de la función anterior. Entonces yo conjetura de que una elíptica función de esta red es invariante bajo $G$ si y sólo si puede ser representada como una función racional de $\wp\,'(z)$. (Tenga en cuenta que esto incluye el Dixon función $\mathrm{cm}(z)$, pero que $\mathrm{sm}(z)$ es invariante bajo traducir de $G$.) Luego de cada función elíptica con p3 simetría sería obtenidos a partir de estos a través de la traducción.
Tipo p6
Este fondo de pantalla de grupo sólo tiene sentido para la red hexagonal. Implica traducciones así como $60^\circ$ rotaciones, $120^\circ$ rotaciones, y $180^\circ$ rotaciones. Wikipedia se usa la siguiente imagen para ilustrar p6 simetría:
(El azul de los hexágonos que representan puntos con $60^\circ$ simetría rotacional, los triángulos de color rojo representan los puntos de con $120^\circ$ simetría de rotación, y la púrpura de los rombos representan puntos con $180^\circ$ simetría de rotación.)
De nuevo, no es muy difícil hacer una función elíptica con p6 simetría. Utilizamos simplemente $\wp\,'(z)^2$ por una celosía hexagonal:
(Hay $60^\circ$ simetría alrededor de los puntos azules, $120^\circ$ simetría alrededor del punto rojo, y $180^\circ$ simetría alrededor de la púrpura puntos).
De nuevo, parece que $\wp\,'(z)^2$ "genera" la elíptica funciones con p6 simetría, en el sentido de que cada función elíptica con p6 simetría es una traducción de una función racional de $\wp\,'(z)^2$.
Reflexiones Finales
Esto ciertamente no es todo lo que podría decirse acerca de la simetría de las funciones elípticas. Para una cosa, a pesar de que un holomorphic función no puede ser simétrica en virtud de una reflexión o una reflexión de desplazamiento, es razonable exigir a la parte real de un holomorphic la función tal simetría.
Esto nos lleva a la siguiente pregunta.
Pregunta. Para cada fondo de pantalla de grupo $G$, ¿existe una función elíptica cuya parte real tiene simetría grupo $G$?
La respuesta a esta pregunta parece ser que SÍ, aunque no he comprobado todos los casos, y es concebible que algunos de los wallpaper grupos son excluidos.
Por cierto, cuando la parte real de una función elíptica tiene un cierto papel tapiz de la simetría, la parte imaginaria en general parece tener algún tipo de "armónica conjugada" la simetría, que puede ser una copia diferente del mismo fondo de pantalla de grupo, o de otro fondo de pantalla de grupo en conjunto.
En general, tal vez la forma más sensata para hablar acerca de la simetría de una función elíptica es hablar acerca de la simetría de su gráfica en $\mathbb{C}\times \widehat{\mathbb{C}}$. Por ejemplo, muchas de las funciones anteriores son invariantes bajo un reflejo del dominio seguido por el complejo de la conjugación en el rango. No estoy seguro de lo discreto con los grupos de simetrías son en $\mathbb{C}\times \widehat{\mathbb{C}}$ — no son simplemente el fondo de pantalla de los grupos—, pero este sin duda sería interesante investigar.
