Puede ordenada campo finito?

Question

Me encontré con esta pregunta en un libro de cálculo.

Es posible demostrar que una orden de campo debe ser infinito? También - ¿esto significa que sólo hay uno de esos campos?

Gracias

Answer 1

Recordemos que en un orden de campo tenemos:

1. $0<1$;
2. $a<b\implies a+c<b+c$.

Supongamos que $F$ es una ordenó campo de la característica $p$, entonces tenemos en $F$ que $$\underbrace{1+\ldots+1}_{p\text{ times}} = 0$$

Por lo tanto: $$0<1<1+1<\ldots<\underbrace{1+\ldots+1}_{p\text{ times}} = 0$$

Contradicción! Por lo tanto, la característica de $F$ $0$ y por lo tanto es infinito, ya que contiene una copia de $\mathbb Q$.

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Algunos datos curiosos sobre las características de un campo:

Definición: La característica de un campo de $F$ es el mínimo número de $n$ tal que $\underbrace{1+\ldots+1}_{n\text{ times}}=0$ si es que existe, y $0$ lo contrario.

Ejercicios:

1. Si un campo tiene una característica positiva $n$ $n$ es un número primo.
2. Si $F$ es un campo finito, a continuación, su característica es distinto de cero (Sugerencia: la función de $x\mapsto x+1$ es inyectiva, comienzan con $0$ e iterar es $|F|$ muchas veces y necesariamente consiguió $0$ nuevo).
3. Si $F$ es finito y $p$ es su característica, a continuación, $p$ divide $|F|$.

Answer 2

Una orden de campo debe ser infinito. Observe que cada campo tiene un subconjunto de los números que se comportan como los números naturales, con $0<1<1+1<1+1+1\dots$

Sin embargo, no todos los pedidos de campo es isomorfo a todos los demás ordenó campos. Observe que tanto los números racionales y los números reales se ordenan los campos.

Answer 3

Sugerencia $\ $ Linealmente ordenado grupos de torsión libre: $\rm\: 0\ne n\in \mathbb N,$ $\rm\:g>0 \:\Rightarrow\: n\cdot g = g +\cdots + g > 0,\:$ desde el lado positivo es cerrado bajo la suma. Por el contrario, una de torsión libre conmutativa grupo puede ser linealmente ordenado Levi (1942).