La igualdad de rango de homología y cohomology grupos a través de el universal coeficiente teorema de

Question

Estoy teniendo problemas para entender un pasaje de la prueba del Corolario 3.37 en Hatcher Topología Algebraica, es decir, el hecho de que el universal coeficiente teorema implica $$ \mathrm{rank}\,H^k(M;\mathbb{Z}) = \mathrm{rank}\,H_k(M;\mathbb{Z}). $$

He estado buscando pistas por un tiempo, pero no pude encontrar lo que necesito. El siguiente intento de una solución es lo que finalmente ocurrió, pero estoy bastante seguro de que debe haber una manera mucho más fácil ir.

Aquí va: la UCT para cohomology me permite decir que $$ \mathrm{rank}\,H^k(M;\mathbb{Z}) = \mathrm{rank}\,\mathrm{Hom}(H_k(M;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}) + \mathrm{rank}\,\mathrm{Ext}(H_{k-1}(M;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}); $$

ahora, el grupo de homomorphisms de una f.g. abelian grupo a $ \mathbb{Z} $ es a su vez una f.g. abelian grupo, con el mismo rango, por lo que el $$ \mathrm{rank}\,\mathrm{Hom}(H_k(M;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}) = \mathrm{rank}\,H_k(M;\mathbb{Z}), $$

lo que me deja con el problema de la prueba de la $ \mathrm{rank}\,\mathrm{Ext}(H_{k-1}(M;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}) = 0 $.

Hasta ahora he sido incapaz de probar este último paso.

Es mi razonamiento correcto? Hay una manera más fácil de ir? Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Cada f.g. abelian grupo es la suma directa de un número finito finito cíclico de los grupos y un f.g. torsión libre (por tanto gratuita) abelian grupo. $\mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^1 (-, \mathbb{Z})$ conserva finito directa sumas de dinero, por lo que es suficiente para mostrar que $\mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^1 (M, \mathbb{Z})$ es un grupo finito si $M$ es finita cíclico grupo.

De hecho, para todos los enteros positivos $m$, $$\mathrm{Ext}_\mathbb{Z}^1 (\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$$ como puede comprobarse por cálculo directo. Esto demuestra la reclamación.