Los dados son cubos con pepitas (pequeños puntos) en uno de sus lados, lo que representa los números del 1 al 6. Dos dados se considera la misma si puede ser gira y se coloca de tal manera que se presente la coincidencia de los números en la parte superior, inferior, izquierda, derecha, delante, y atrás los lados.
A continuación es un ejemplo de dos dados que se pueden girar para mostrar que ellos son los mismos si la 2-pip y 4-pip lados son opuestas y los 3 puntitos y 5-pip lados son también opuestos. https://www.dropbox.com/s/6q56njm11hu3f36/Screenshot%202015-08-18%2012.02.11.png?dl=0
¿Cuántos dados existen? Es decir, ¿de cuántas maneras distintas se puede hacer distintos de los dados que no se puede rotar para mostrar que son el mismo? Nota: Este problema no implica rodar los dados o la probabilidad de que rollo de resultados.
Estoy teniendo problemas para entender exactamente lo que se pregunta en esta pregunta. Entiendo que tengo que encontrar cómo muchas maneras diferentes de los dados pueden ser colocados para demostrar que son el mismo, pero diciendo que no puede girarse me confunde.
Podría alguien hacer un intento de reformulación de esto? O caminar conmigo a través de cómo resolver esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No voy a dar una respuesta real, y este post no es una pista para resolver la pregunta, pero voy a sugerir una manera de que usted puede simplificar el problema con el fin de entender mejor lo que se le pide.
(Por cierto, que a menudo es muy útil el enfoque, que es, lo que simplifica el problema de obtener una mejor comprensión de la misma)
Digamos que tienes una plaza y asigna números a los bordes, en una de las agujas del reloj manera, comenzando desde el borde superior. Hay 4! = 24 diferentes tareas que se podría hacer. Aquí un par de ejemplos: 1234, 3241, 1324, 4123, 4321, y así sucesivamente.
Ahora, tenga en cuenta que las asignaciones de 1234, 2341, 3412, y 4123 en realidad no representan a diferentes plazas porque se puede girar para que coincida con el uno al otro. Usted podría poner en una agrupación propia. Por otro lado, 1234 y 1324 son tareas diferentes en el sentido de que no importa cómo usted girar cualquiera de las plazas resultantes, usted no será capaz de hacerlos coincidir. Así, 1234 y 1324 deben pertenecer a diferentes grupos.
Cuál es la pregunta acerca de los dados se hacen es cómo muchas de esas agrupaciones son, pero con un cubo y sus caras, en lugar de un cuadrado y sus bordes. Tenga en cuenta que puede girar un cubo en más formas de las que se puede girar un cuadrado.
Edit: se Basa en el envío de comentarios a continuación, aquí está la fuerza bruta solución para el problema análogo con triángulos. Es fuerza bruta, porque en realidad yo soy el listado de todos los posibles asignaciones y explícitamente de pruebas, si son pares equivalentes o no. Usted no quiere hacer eso en los dados problema. Que no es como usted quiere resolver ese problema. Estoy solo fuerza bruta aquí la solución para hacer más fácil para que usted entienda lo que el problema está pidiendo.
Se puede dividir a los 3! = 6 posibles asignaciones a sólo 2 grupos, donde cada tarea en un grupo es equivalente a la de otros trabajos en el mismo grupo, pero diferente de todas las asignaciones en el otro grupo. La solución a "¿cuántos de esos grupos hay?" es, entonces, 2. Uno es de color azul, la otra roja en la figura de abajo.
Sugerencia #1 En el caso de 6 caras de los dados, si todos los dados tienen caras opuestas suman 7, apartado 1, frente a 6, 2 frente a 5, 3 frente a 4), a continuación, sólo hay 2 grupos. Intenta demostrar que el resultado, a continuación, busque en el caso cuando las caras opuestas no tiene que agregar hasta 7. Cómo muchos de esos casos, hay en total?
Sugerencia #2 por Lo tanto, si usted fijar la parte superior y la parte inferior de los números, se obtiene 2 grupos (que es el resultado de la sugerencia #1 arriba). De cuántas maneras se puede fijar la parte superior y la parte inferior de los números?
Poner los dados en una tabla tal que el $1$ está en el fondo de todos ellos. Usted todavía puede girar libremente alrededor de un eje vertical que pasa a través de un punto en la parte inferior. Ahora comienza el recuento: tiene cinco opciones de la parte superior de la cara. El resto de los cuatro números puede ser emparejado en tres maneras para formar los pares de opuestos de los números en las caras verticales. Para cada uno elegido de vinculación puede darse cuenta de dos orientaciones diferentes, dando lugar a dos cubos, que son copias espejo de los otros. De ello se deduce que el número total de cubos es $5\cdot 3\cdot 2=30$.
Por cierto: Hay un famoso puzzle (Macmahon de cubos de colores) el uso de $30$ cubos de colores en lugar de números. Tomar cualquiera de las $30$ cubos como modelo y poner juntos un $2\times2\times2$ cubo el aspecto de la modelo, con la condición adicional de que en el interior sólo se enfrenta con la igualdad de colores puede tocar.
Deje que nos sentamos en una mesa. Lo de morir tenemos, se puede poner sobre la mesa con el $1$ boca abajo.
Hay, a continuación, $5$ posibilidades para la cara (sólo uno es legal, la cara opuesta $1$ siempre $6$, pero vamos no te preocupes por eso). Hacemos una selección para la cara, como $3$, recuento de los dados que tiene hasta cara de $3$ y luego multiplicar el resultado por $5$.
Así que ahora tenemos que concentrarnos en el hecho de contar los dados con cara de $1$ y hasta el rostro de $3$. Tomar el más pequeño de la cara que no se ha mencionado todavía, en este caso $2$. Gire el morir, manteniendo con el $1$ cara en la mesa, hasta que usted está buscando en la $2$ cara. Ahora quedan $3$ caras. Cualquiera de los dos ordenamientos de los números en estos $3$ caras da diferentes de los dados, lo que da un total de $3!$ dados con cara de $1$ y hasta el rostro de $3$.
Finalmente, se multiplica por $5$.
