Acoplamiento de los procesos de Wiener

Question

¿Es posible encontrar un acoplamiento de dos procesos de Wiener $W^0, W^x$ (es decir, dos procesos de Wiener definidos en un espacio de probabilidad común). Uno de ellos, a partir de $0$ y el otro de $x$ de tal manera que

$W_t^0 - W_t^x \rightarrow_t 0$ casi seguro y en $L^1$ .

Usando algunas consideraciones de caminatas al azar sospecho que es no es posible que haya convergencia en $L^1$ pero no sé cómo probarlo.

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El responder a es: $W_t^0 - W_t^x$ no puede convergen en $0$ en $L^1$

La prueba es la siguiente (es una versión ligeramente extendida de la prueba por pequeñas desviaciones). Obviamente

$|W_t^0 - W_t^x|_1 \geq \inf _{ \gamma\in \Gamma } \{ \int _{ \mathbf {R}^d \times \mathbf {R}^d} |x-y| \text {d} \gamma (x,y)\},$

donde $ \Gamma $ es el conjunto de todos los acoplamientos de $ \mathcal {L} (W_t^0)$ y $ \mathcal {L} (W_t^x)$ ( $ \mathcal {L}$ es la ley de la variable dada). Por la fórmula de la dualidad (véase http://en.wikipedia.org/wiki/Transportation_theory ) el lado derecho es igual a

$ \sup \{ \int_ { \mathbf {R}^d} \phi (x) \mathrm {d} \mu (x) + \int_ { \mathbf {R}^d} \psi (y) \mathrm {d} \nu (y) \},$

donde el supremo corre sobre todos los pares de funciones delimitadas y continuas de tal manera que $ \phi (x)+ \psi (y) \leq |x-y|$ y $ \mu = \mathcal {L}(W_t^x)$ y $ \nu = \mathcal {L} (W_t^0)$ . En nuestro caso es suficiente con tomar $ \phi (x) = x, \psi (y)=y$ . Entonces la expresión bajo el sup es igual a:

$ \mathbf {E}(W^x_t) - \mathbf {E}(W^0_t) = x-0 =x$ . Por lo tanto $|W_t^0 - W_t^x|_1 \geq x$ .

Answer 1

La convergencia a.s. es fácil de lograr. Por ejemplo:

Deja que W 0 ser un proceso estándar de Wiener en cualquier espacio de probabilidad. Definir X(t)=x-W 0 (t). Este es un proceso de Wiener emitido desde x. Define τ para ser la primera vez que W 0 golpea x/2. Este es un tiempo de parada finito de a.s. y W 0 (τ)=X(τ)=x/2. Que W x coinciden con X hasta τ y coinciden con W 0 después de τ.

La L 1 la convergencia es imposible ya que habría implicado que E W x (t)- E W 0 (t) converge a 0.

Answer 2

Tomando esa segunda pregunta,

$r' = i - nr - jq$

y la diferenciación da

$r'' = -nr' - jq' = -nr' - j(k- \frac {m}{r})$

o en otras palabras

$r'' + ar' + \frac {b}{r} = c$

que es una ecuación diferencial mucho más simple de una sola variable. Creo que probablemente podrías resolver esto con series de poder o adivinanzas inteligentes, pero necesita ser resuelto.

Answer 3

Aquí hay otra solución a este problema: $W^0$ y $W^x$ son ambas martingalas y por lo tanto también lo es su diferencia $W^0-W^x$ . Luego $|W^0-W^x|$ es un submartínale ( $| \cdot |$ es convexo). De ello se deduce que $E[|W^0_t - W^x_t|] \ge E[|W^0_0 -W^x_0|] =|x|$ para todos $t$ .

Answer 4

esta es, en efecto, una prueba muy bonita. Sólo quería mencionar que no hay necesidad de la dualidad Kantorovich aquí (que es un resultado altamente no trivial) ya que usted simplemente usa el hecho de que: $$ \inf \iint |x-y| \, \gamma (dx,dy) \geq \int \phi (x) \, \mu (dx) + \int \psi (y) \, \nu (dy)$$ para cualquier función $ \phi (x)+ \psi (y) \leq |x-y|$ lo cual es obvio.

Answer 5

Si no hay acoplamiento s.t. la distancia va a 0 en $L^{1}$ (lo cual estoy de acuerdo en que parece probable), tal vez quieras buscar una introducción a la distancia de Wasserstein-1 (que es exactamente lo que se espera $L^{1}$ distancia después de un acoplamiento óptimo). Este es el lenguaje en el que más a menudo he visto discutir este tipo de problemas. El campo para encontrar acoplamientos óptimos para determinadas métricas es el "transporte óptimo".

Recuerdo vagamente que hay teoremas sobre los acoplamientos óptimos (sólo en ciertos $L^{p}$ sólo que, por supuesto!) nunca dando lugar a cruzar las líneas. En un problema unidimensional, como el que tienes, esto te diría cuál es el acoplamiento óptimo explícitamente (en este caso, si construyes tu movimiento Browniano a través del teorema de Donsker, dice: siempre que $W^{0}$ hace un movimiento en el $ \alpha $ percentil, hacer $W^{x}$ también se mueven en el $ \alpha $ percentil... en otras palabras, mi teorema probablemente mal recordado implicaría que el acoplamiento no ayuda a tu $L^{1}$ distancia en este caso).

Cedric Villani tiene dos excelentes libros sobre el tema, al menos uno de los cuales estaba disponible para su descarga gratuita la última vez que lo comprobé, y debería ser capaz de encontrar "este tipo" de teorema. Por favor, no me crea en las declaraciones.

Edición: Aquí hay (creo) una prueba... aunque podría encajar en la categoría de tan-simple-su-error. En primer lugar, tenemos los puntos de partida x,0 y añadimos dos variables aleatorias normales (0,a) X e Y a ellos. Conectando las funciones de coste obvias, la fórmula de la "Dualidad de Kantorovitch" nos dice que la $L^{1}$ La distancia entre x+X y 0+Y es como mínimo x (mientras que al conectar el acoplamiento independiente a la forma estándar de escribir esta métrica nos dice que es como máximo x). Así que, en el momento a, el $L^{1}$ La distancia entre los movimientos brownianos debe ser al menos x (ya que en el tiempo a tienen la misma distribución que x+X y 0+Y, y hemos encontrado este límite inferior para TODOS los acoplamientos, y en particular todos los acoplamientos que provienen de ambos son movimientos brownianos). En particular, el $L^{1}$ la distancia no puede ir a 0.