Tres significados de étale gavilla en X

Question

Cuando estoy estudiando stacky alimenticios, siempre estoy confundido por la noción de étale abelian poleas en $X$, debido a que posiblemente no podría ser de tres significados diferentes de los que:

1. Tomar el mundial étale sitio (en la categoría de esquema con una topología definida por étale cubiertas) y considere la posibilidad de abelian gavilla $\mathcal F$ en el global del sitio, junto con un mapa de $\mathcal F\rightarrow h_X$ a la gavilla representado por $X$.

2. Tomar la gran étale sitio en $X$ (la categoría de esquemas sobre X con una topología definida por étale la cobertura) y considere la posibilidad de abelian gavilla en este sitio.

3. Tome la pequeña étale sitio en $X$ (la categoría de esquemas de étale sobre X con una topología definida por étale la cobertura) y considere la posibilidad de abelian gavilla en este sitio.

Desde el contexto de los libros que estoy leyendo, (1) no me parece lo correcto para mirar. Pero es (2) o (3) el derecho lo que hay que mirar? ¿Son lo mismo?

Answer 1

No creo que 1) es correcta. En las notas que tengo en pilas (algunas notas por Martin Olsson) que normalmente se adhieren a 2) poleas en la gran etale sitio, supongo que debido a su poco más general y porque:

a) se puede demostrar que $X$-esquemas de darle las poleas en la gran Etale sitio (o, más generalmente, en el fppf sitio).

b) Algebraica de los espacios se definen como gavillas en la gran etale sitio satisfacer algunas propiedades adicionales.

Pero creo que su definición 3) sería igualmente aceptable en otros contextos.