Demostrar $\sum na_n$ convergen si $\sum (a-s_n)$ convergen

Question

Deje $\sum a_n=a$ con términos no negativos. Deje $ s_n$ n-n-ésima suma parcial. Demostrar $\sum na_n$ convergen si $\sum (a-s_n)$ convergen

Answer 1

Simplemente se nota

$$ \sum_n (a-s_n)=\sum_n \sum_{k=n+1}^\infty a_k = \sum_{k=2}^\infty \sum_{n=1}^{k-1} a_k =\sum_{k=2}^\infty (k-1)a_k. $$

Aquí, se puede intercambiar el mismo desde todos los comandos son no negativos.

El uso de la suposición de que $\sum_n a_n$ converge, esto implica la reclamación (incluso con si y sólo si).

Answer 2

Es fácil probar el siguiente hecho:

Si $(a_n) $ es la disminución de la secuencia y $\sum_{j=1}^{\infty } a_j $ converge, a continuación, $\lim_{j\to \infty } ja_j =0.$

Ahora vamos a $r_n =\sum_{k=n+1}^{\infty } a_n $ y asumir que $\sum_{i=1}^{\infty} r_n <\infty .$ Observa que el$(r_n )$, una disminución de la secuencia, por lo tanto, por el hecho de $\lim_{n\to\infty} nr_n =0.$ cualquier $\varepsilon >0$ y deje $n_0 $ por tan grande que $nr_n <\varepsilon $$\sum_{k=n}^{\infty} r_k <\varepsilon $$n\geqslant n_0 -1$, entonces tenemos $$\sum_{j=n_0}^{\infty} ja_j = n_0 r_{n_0 -1} + \sum_{k=n_0}^{\infty } r_k\leqslant \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon .$$ Thus the series $$\sum_{j=1}^{\infty} ja_j $$ converge.

Answer 3

Esto es menos rigurosa que la otra respuesta, pero más intuitiva para mí (y nos dice una cosa clara).

$\displaystyle \sum_1^{N} (a-s_n)=Na-\sum_1^N(N+1-n)a_n$.

Como $N \to \infty$, $\displaystyle Na-\sum_1^N(N+1-n)a_n \to -\sum_1^{\infty}(1-n)a_n = \sum_1^{\infty} na_n-a$.

Por lo tanto $\displaystyle \sum_1^{\infty} (a-s_n)$ converge $\displaystyle \iff \sum_1^{\infty} na_n$ converge.

Lo genial es que la asunción de convergencia, $\displaystyle \sum_1^{\infty} (a-s_n) = \sum_1^{\infty} na_n-a$

Answer 4

$$ \begin{align} \sum_{k=1}^nka_k &=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^ka_k\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{k=j}^na_k\\ &=\sum_{j=1}^n(s_n-s_{j-1}) \end{align} $$ Tomando límites, llegamos por la Monotonía de Convergenciaque $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty ka_k &=\sum_{j=1}^\infty(a-s_{j-1})\\ &=a+\sum_{j=1}^\infty(a-s_j)\\ \end{align} $$