Hallar la suma de los recíprocos de los divisores dada la suma de los divisores

Question

Dejemos que $d_1, d_2, \cdots d_k$ sean todos los factores de un entero positivo ' $n$ ' incluyendo $1$ y $n$ . Supongamos que $d_1 + d_2 + d_3+\cdots+d_k = 72$ . A continuación, encuentre el valor de $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\cdots + \frac{1}{d_k}$ .

Intento: Considerar, $d_1, d_2, \cdots d_k$ son los factores de $n$ en orden ascendente. A continuación,

$d_1d_k=n$ , $d_2d_{k-1}=n$ , $\cdots$ , $d_kd_{1}=n$ ............... (1)

Supongamos, $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\cdots + \frac{1}{d_k}=P$ Entonces $\frac{n}{d_1}+\frac{n}{d_2}+\cdots + \frac{n}{d_k}=nP$ es decir $d_k+d_{k-1}+\cdots +d_2+d_1=nP$ (usando 1) es decir $72=nP$ o $P=72/n$ .

Problema: He considerado que el número de divisores de $n$ son pares como todo divisor $d$ de $n$ tiene un divisor gemelo $n/d$ . Pero no es cierto si $n$ es un cuadrado perfecto, es decir $n=d^2$ como en este caso $n$ tiene un número impar de divisores (por ejemplo, $4=2^2$ , $4$ tiene tres divisores $1,2 ~\&~ 4$ ).

Answer 1

Tu argumento está bien y los cuadrados no son un problema. No estás emparejando los divisores, sólo los estás reordenando. Vamos a repasar tu cálculo con $n=9$ donde la suma de los divisores es $1+3+9=13$ . Entonces nos preguntamos cuál es el valor de $\frac 11 + \frac 13 + \frac 19=S$ es. Multiplicamos por $9$ y obtener $9S=9+3+1=13, S=\frac{13}9$ . El término $3$ no causa ningún problema.

Answer 2

En general, la suma de los recíprocos de los divisores de $n$ es igual a $\frac{\sigma(n)}{n}$ donde $\sigma$ es la función de suma de divisores. Esta cantidad se denomina a veces ratio de abundancia o índice de abundancia de $n$ . Puede utilizarse para saber si $n$ es abundante, deficiente o perfecta.

Answer 3

Su respuesta sigue siendo correcta si $n$ es un cuadrado perfecto ya que sólo tiene una raíz positiva, por lo que para el término $\frac{n}{d_{root}} = d_{root}$ se obtiene exactamente lo que se necesita.

Answer 4

Dejemos que $p,q,r$ ser primo.

$n=p$ : $\sum d =1+p$ Por lo tanto $p=71$ que sí es primordial.

$n=p^k$ : $\sum d =1+p+p^2+\ldots+p^n$ Por lo tanto $p(p^{k-1}+\ldots+p+1)=71$ lo que no es posible ya que $p, p+1 >1$ y el 71 es primo.

$n=pq$ : $\sum d =1+p+q+pq$ Por lo tanto $(p+1)(q+1)=72$ .

• $p=2$ da $q=23$ . $n=46$
• $p=3$ da $q=17$ . $n=51$
• $p=5$ da $q=11$ . $n=55$
• $p=7$ no da nada.

$n=p^2q$ : $\sum d =1+p+p^2+q+pq+p^2q$ Por lo tanto $(p^2+p+1)(q+1)=72$ .

• $p=2$ no da nada.
• $p=3$ no da nada.
• $p=5$ no da nada.

$n=p^kq^l$ , $k,l\geq2$ : $\sigma_1(n)\geq(p^2+p+1)(q^2+q+1)\geq7\cdot13>72$ .

Si $n=pqr$ , $\sigma_1(n)\geq\sigma_1(30)\geq72$ con la primera igualdad de desigualdades si $n=30$ .

Por lo tanto, los valores de $n$ para esta bodega son exactamente:

$$n=30, 46, 51, 55, 71$$

Y esto da los valores de $P$ como:

$$\frac{12}{5}, \frac{36}{23}, \frac{24}{17}, \frac{72}{55}, \frac{72}{71}$$

Esto demuestra que podría ser bruteforced en un tiempo razonable (un cuarto), pero por supuesto su argumento es mucho más elegante.