Puede asíntotas ser curvo?

Question

Cuando me presentaron por primera vez a la idea de una asíntota, me enseñaron acerca de asíntotas horizontales (de forma $y=a$) y vertical ( de la forma $x=b$).

Yo se muestra a continuación asíntotas oblicuas-- inclinado asíntotas que no son constantes (de la forma $y=ax+b$).

Lo que sucede, sin embargo, si tenemos una función como $$f(x)=e^x+\frac{1}{x}?$$

Es $y=e^x$ considera que una asíntota en este ejemplo?

Otro ejemplo, solo para mostrar de dónde vengo, es $$g(x)=x^2+\sin(x)$$-- is $y=x^2$ una asíntota en este caso?

La razón que pido es que no veo el punto en la definición de las asíntotas oblicuas y no curvo; seguramente, si queremos saber el comportamiento de $y$$x \to \infty$, se debería incluir todos los tipos de funciones como asíntotas.

Si asíntotas no pueden ser curvas, entonces, ¿por qué restringir arbitrariamente asíntotas a las líneas?

Answer 1

El concepto de las asíntotas es muy común que las curvas de los gráficos, aunque de alguna manera la terminología no es muy utilizado fuera del contexto de las líneas. La forma en que el concepto se utiliza es que si uno se da una función de $f(x)$, es interesante el estudio de otras funciones $g(x)$ que son "asintótica $f(x)$" de varias maneras. Uno de los significados de esta frase sería que $$(1) \quad \lim_{x \+\infty} |f(x)-g(x)|=0 $$ que es exactamente lo que "asintótico" significa, en el sentido ordinario cuando el gráfico de $f(x)$ es una línea. De otro algo diferente noción es que $$(2) \quad \lim_{x \+\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $$ que en realidad sólo tiene sentido cuando se $f(x)$ $g(x)$ son cero cerca de $+\infty$. Hay muchas otras variaciones de este concepto. Esta discusión se cae bajo el nombre de "tipos de crecimiento de funciones", que son importantes en ciencias de la computación y otros lugares; estas notas parecen una buena base de discusión, por ejemplo.

Y respecto a tu pregunta de si $g(x) = x^2 + \sin(x)$ es asintótica a $y=x^2$, es asintótica en el sentido (2), pero no en el sentido (1).

Answer 2

"Asíntota" en mi opinión, básicamente, se refiere a algún tipo de limitación de comportamiento de una función. Así, por ejemplo, hablamos de asintótica de la serie de expansiones. Así que a partir de una geometría analítica perspectiva, se podría pensar en un "asíntota" como una función o una relación que describe la forma en que otra función de los enfoques que arbitrariamente cerca. Por ejemplo, $$f(x) = \frac{x-x^2+x^4}{x^2-1}$$ might be thought of as having a parabolic asymptote and two vertical asymptotes, since for "large" $x$, $f(x) \sim x^2$. But I hesitate to say $f(x) = x^2 + \sin x$ has such an asymptote, because the magnitude of $\sin x$ does not diminish as $$ x se hace grande.

Answer 3

la terminología es hasta usted. Sin embargo, es útil, cuando la graficación de funciones racionales, para darse cuenta de que son esencialmente el polinomio (o el recíproco de un polinomio) para grandes valores absolutos de la argumentación. Gráfico $$ y = \frac{x^5 - 7}{x^3 - 12 x}, $$ for large $|x|,$ $s$ is pretty much $x^2.$