Corte equilibrado de un polígono convexo

Question

Dado un polígono convexo $C$ y un número $R\geq 1$ digamos que un punto $x$ es un $R$ -punto de equilibrio de $C$ si cada línea que pasa por $x$ divide $C$ a dos partes $C_1,C_2$ tal que: $$1/R \leq Area(C_1)/Area(C_2)\leq R$$

Algunos polígonos tienen un punto de equilibrio 1, por ejemplo, el centroide de un rectángulo o una elipse, ya que cada línea que lo atraviesa corta $C$ a dos partes de igual superficie.

Al principio pensé que todo polígono convexo tiene un punto de equilibrio 1, pero luego encontré un contraejemplo. Consideremos el triángulo isósceles rectángulo unitario, cuya área total es 0,5:

Supongamos por contradicción que tiene un punto de equilibrio 1, H. Entonces, la línea vertical que pasa por H debe cortar un triángulo de área 0,25, por lo que debe tener $x = 1-\sqrt{0.5} \approx 0.29$ . Del mismo modo, la línea horizontal que pasa por H debe tener $y = 1-\sqrt{0.5} \approx 0.29$ . Esto significa que H debe ser el punto (0,29,0,29). Pero, la línea que pasa por H en el ángulo $135^\circ$ desde el eje x corta un triángulo de área $\approx 0.17$ .

Entonces, mi pregunta es: qué es lo más pequeño $R$ tal que todo polígono convexo tiene un $R$ -¿punto de equilibrio?

(¿y cuál es el nombre estándar de este punto?)

Answer 1

Lo que tienes para un triángulo es válido para todos los triángulos. El mejor punto para los triángulos es el centro de gravedad. Si no recuerdo mal, en general, para una región convexa en el plano el mejor $R$ $\le$ el de un triángulo, con igualdad sólo para los triángulos. Recuerdo haber visto esto en un libro de geometría combinatoria, quizás de Yaglom.

${\bf Added:}$ He encontrado la referencia, se llama teorema de Winternitz, y dice que el peor $R$ es la del triángulo, que es $\frac{5}{4}$ . Lo he encontrado en el libro de Yaglom, Convex figures, Ex 3.10. ¡Muy bien!

No he comprobado la prueba, pero aquí hay otro resultado que podría asegurar algunos $R$ Pero no es tan bueno. El teorema de Kovner (Ex 3.7) dice que toda región convexa contiene una región convexa simétrica con un área de al menos $2/3$ del original. De ésta podemos concluir que cualquier línea que pase por el centro de esa región más pequeña dará ración $\le \frac{2/3}{1/3} = 2$ .

Answer 2

Creo que la respuesta dada por @orangeskid es correcta, y al menos para ver que el punto de equilibrio es el centro de masa de los triángulos, hay que tener en cuenta que el punto de equilibrio se conserva bajo rotaciones, y también ejes de escala (porque estos llevan líneas a líneas, conservan la incidencia de puntos y líneas, y escalan el área de cualquier región por un factor común). Con estas operaciones se puede transformar cualquier triángulo en un triángulo equilátero. Para un triángulo equilátero, el punto de equilibrio es el centro de masa. Una forma de ver que el centro de masa es la respuesta es observando que el punto de equilibrio debe ser el mismo cuando el triángulo se gira 120 o 240 grados alrededor del centro del triángulo. Y finalmente, el centro de masa se conserva bajo rotaciones y ejes de escala, por lo que el centro de masa es el punto de equilibrio para cualquier triángulo.