Que funciones son derivados de alguna otra función?

Question

No hay una fórmula fundamental en el cálculo integral, que establece que $\int_a^bF'(x)dx=F(b)-F(a)$. Esta fórmula se obtiene una relación entre las integrales definida e indefinida. Hay un montón de funciones que son integrables (en el sentido definido)-por ejemplo cada acotado medible función es la de aceptar. Sin embargo, no sé exactamente que funciones tiene integral indefinida: en otras palabras, que las funciones son derivados de alguna otra función? Por ejemplo, la continuidad es suficiente: en el otro lado de cas muestran que cada función la derivada (aunque no necesita ser continua) tiene la propiedad de Darboux. Así que mi pregunta es

Que funciones son derivados de alguna otra función?

Answer 1

El problema es bastante famoso (y natural). Primero fue explícitamente por W. H. Young en 1911. Me gusta citar este pasaje mucho (aunque sólo para encontrar una excusa para el uso de la palabra "discutibles") que no voy a resistir ese impulso aquí.

"Recientes investigaciones [de Lebesgue y Vitali] nos ha proporcionado un conjunto de condiciones necesarias y suficientes de que una función puede ser la integral indefinida..., de otra función y la forma en que haya sido así abierto a los acontecimientos importantes. La correspondiente, mucho más difícil, el problema de la determinación de las condiciones necesarias y suficientes que una función puede ser un diferencial coeficiente, apenas ha sido propuesto; de hecho, a pesar de que sabemos que un número de condiciones no establece incluso de las condiciones suficientes tiene a mi conocimiento nunca ha sido formulado, excepto que participan en la declaración obvia que un función continua es un coeficiente diferencial. La necesaria las condiciones en cuestión son de considerable importancia y el interés. Una función que es un diferencial coeficiente de ha, de hecho, varios sorprendentes propiedades. Debe ser pointwise discontinuo con respecto para cada conjunto perfecto; no puede tener discontinuidades de la primera tipo; se asume en cada intervalo de todos los valores entre su parte superior y los límites inferiores en ese intervalo de tiempo; su valor en cada punto es uno de los límites a ambos lados de los valores en el barrio; su parte superior y los límites inferiores, cuando finita, no se alteran, si omitimos los valores en cualquier contables conjunto de puntos; los puntos en los que es infinito formar una interior limitar el conjunto de contenido cero. A partir de estas condiciones necesarias somos capaces de deducir información muy valiosa como para cuando una función no es, ciertamente, un diferencial coeficiente de . . . . Estas condiciones sin embargo, no nos hacen ninguna ayuda material, incluso en contestar la simple pregunta de si el producto de dos diferenciales los coeficientes es un coeficiente diferencial, y esta ni siquiera en el caso especial en el que uno de los diferenciales de coeficientes es un función continua." ...de W H Joven, Una nota sobre la propiedad de ser un diferencial de coeficiente. Proc. Londres Matemáticas. Soc. 1911 (2) 9, 360-368.

En la monografía de Andrew M. Bruckner, la Diferenciación de funciones reales, en el Capítulo siete hay una discusión sobre el problema de la caracterización de los derivados.

Andy ha actualizado su cuenta de este problema en un artículo para el Análisis Real de Intercambio:

Bruckner, Andrew M. El problema de la caracterización de los derivados revisited. Anal Real. Cambio 21 (1995/96), no. 1, 112--133.

Aquí hay un par real de las caracterizaciones de los derivados de:

C. Neugebauer, Darboux funciones de Baire clase 1 y derivados, Proc. Amer. De matemáticas. Soc., 13 (1962), 838-843.

D. Preiss y M. Tartaglia, En la Caracterización de los Derivados, los Procedimientos de de la Sociedad Matemática Americana, Vol. 123, Nº 8 (Ago., 1995), 2417-2420.

Chris Freiling, En el problema de la caracterización de los derivados, Real Análisis de Cambio de 23 (1997/98), no. 2, 805-812.

Brian S. Thomson, En Las Sumas De Riemann, Análisis Real De Intercambio 37 (2011/12), 1-22.

Mi conjetura es que usted no encontrará ninguna de estas satisfacciones en el camino, por ejemplo, que "continuo" funciones múltiples necesaria y suficiente de las caracterizaciones, la mayoría de ellos natural y convincente.

Answer 2

Si $f(x)$ es cualquier función continua en el intervalo $[a,b]$, entonces para cualquier $c\in [a,b]$ podemos definir la función de $F(x) = \int_c^xf(t)dt$$x\in(a,b)$. De esta manera, el Teorema Fundamental del Cálculo dice que $F'(x) = f(x)$. Por lo que cualquier función continua $f(x)$ es un derivado de alguna otra función y $\int_c^xf(t)dt$ es una antiderivada.

Mientras que "todas las funciones continuas" es una gran clase, la continuidad no es necesario que la función de ser un derivado. Este Post da muchos ejemplos de algunos bastante extraño funciones cuyos derivados no son continuas.