Sentido del conmutador

Question

Para un grupo de $G$, el conmutador de dos elementos que se define como $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$, y se dice generalmente para medir el grado en que los elementos $a$ $b$ no conmutan.

Estoy teniendo algunos problemas para hacer sentido de la última parte: entiendo que si $a$ $b$ viaje, a continuación,$[a,b]=e$. Pero si $a$ $b$ no conmuta, ¿en qué sentido es el colector de capturar la magnitud de su fracaso para viajar, ya que no hay manera de hablar acerca de cómo "lejos" de un elemento $g\in G$ es a partir de la identidad?

Soy justo la interpretación de la palabra "medida" demasiado literalmente aquí, o hay realmente una manera de pensar acerca de los conmutadores que deja claro en qué sentido se comparan la forma en que dos pares de elementos no ir a trabajar?

Answer 1

No podemos realmente decir "¿cómo no conmutativa" $a$$b$, sin el correspondiente noción de "¿cuánto de la identidad" cualquier elemento de un grupo de $G$ es, como usted señala. Para algunos grupos, podemos ser capaces de hacer esto, pero en general, no hay un "universal".

El valor real de este, no es el individuo conmutadores $[a,b]$, sino el colector subgrupo $[G,G]$. Se debe tener claro $G/[G,G]$ es abelian, para:

$(x[G,G])(y[G,G])(x[G,G])^{-1}(y[G,G])^{-1} = [x,y][G,G] = e[G,G] = [G,G]$

Pero la historia no termina ahí, si $N$ es cualquier subgrupo normal tal que $G/N$ es abelian, tenemos $[G,G] \subseteq N$. La razón es muy simple:

si por cualquier $x,y \in G$,$(xN)(yN) = xyN = yxN = (yN)(xN)$, entonces tenemos que tener en $xy(yx)^{-1} = [x,y] \in N$ para cualquier par $x,y \in G$. Por lo tanto $[G,G]$ es el mínimo entre todos subgrupo normal $N$ que hacen de $G/N$ abelian.

Otra cosa buena acerca de esto, es que la forma de hacer que en realidad no depende del grupo $G$ en el siguiente sentido: si $\phi:G \to H$ es un grupo homomorphism, tenemos un grupo de homomorphism $\tilde{\phi}:G/[G,G] \to H/[H,H]$ de abelian grupos definidos por:

$\tilde{\phi}(x[G,G]) = \phi(x)[H,H]$, desde un homomorphism conserva conmutadores:

$\phi([x,y]) = [\phi(x),\phi(y)]$.

Answer 2

Para empezar a hacer algún sentido es conveniente que el % del subgrupo de conmutadores $G'$hace el cociente $G/G'$ ser abelian. Es como matar a lo no-commutativity en $G$.