¿Es la velocidad una propiedad intensiva?

Question

Recuerdo que me enseñaron en física elemental que, mientras tiene sentido agregar volúmenes, masas o calor, no tiene sentido agregar temperaturas.

Como quería usar eso para ilustrar otro problema, lo verifiqué en wikipedia y descubrí el concepto de propiedades intensivas y extensivas de materiales y sistemas, que al parecer tiene un siglo de antigüedad, aunque no recuerdo que me lo hayan enseñado (no era tan antiguo entonces :-).

El concepto parece ser particularmente útil en termodinámica de materiales y sistemas. Pero me preguntaba hasta dónde se extiende, y tenía presente mi problema original de determinar cuándo tiene sentido o no agregar valores en una unidad dada (no necesariamente física).

Noté que la razón entre dos variables extensivas es intensiva. Así que comencé a mirar, un poco al azar confieso, las razones, y lo primero que me vino a la mente fue la velocidad. Y me pregunté si tenía sentido sumar velocidades.

Lo hacemos todo el tiempo, así que debería tener sentido. Pero entonces, mi problema inicial no era sumar dos cantidades, sino una larga lista de ellas (era una pregunta de base de datos). Mientras sumar algunas velocidades (o velocidades) tiene sentido cuando me muevo en el autobús o analizo el movimiento de la Luna en el sistema solar, no puedo imaginar que tendría sentido sumar una lista de cien o mil velocidades (aunque calcular el promedio tendría sentido, al igual que lo haría para la temperatura). Pero tiene mucho sentido sumar las masas de mil objetos.

Entonces, aparentemente hay algo especial, algo que no está del todo bien, sobre sumar velocidades. Por supuesto, sé que resultados un poco más antiguos afirman que sumar velocidades no se hace con una simple adición, pero siento que mi problema está en otro lado (aunque posiblemente haya una conexión).

Sé que la temperatura en algunos materiales está relacionada con la velocidad de las movimientos en su interior, así que no estoy demasiado sorprendido. Pero la velocidad en general parece ir más allá de eso (perdón por la vaguedad). Además, la velocidad no está listada por Wikipedia como una propiedad intensiva.

Entonces, mi pregunta es: ¿por qué parece inapropiado sumar muchas velocidades (o velocidades)?

Supongo que esto también debe ser cierto para otras cantidades físicas, y me pregunto cuál es la forma correcta de ver esto y entenderlo. ¿Hay una noción más general que intensiva y extensiva?

Answer 1

¿Por qué parece inapropiado sumar muchas velocidades (o velocidades)?

Agregar velocidades a menudo es inapropiado incluso en la mecánica newtoniana. Supongamos que Mark se mueve 3 m/s hacia el este con respecto a Bob, y John se mueve 3 m/s hacia el oeste con respecto a Mark. La velocidad relativa entre Bob y John es cero en lugar de los 6 m/s sugeridos al sumar velocidades. Sin embargo, en este caso puedes sumar velocidades.

Sin embargo, la velocidad no es una propiedad intensiva ni extensiva. Considera un ladrillo grande moviéndose a $\vec v_b$ y un grano de arena moviéndose a $\vec v_s$. ¿Cuál es la velocidad del sistema ladrillo+grano? Típicamente se usaría la velocidad del centro de masa, que sería $\frac {m_b \vec v_b + m_g \vec v_g}{m_b + m_g}$. Esa expresión no corresponde ni al concepto de propiedad intensiva ni extensiva.

El momento en lugar de la velocidad es aditivo, al menos en la mecánica newtoniana. El momento del sistema ladrillo+grano es la suma vectorial del momento del ladrillo y el momento del grano de arena. Por lo tanto, el momento (pero no la velocidad o la velocidad) es una propiedad extensiva en el contexto de la mecánica newtoniana.

Aquí se necesita una calificación: El momento es aditivo en la mecánica newtoniana si esos momentos están todos referenciados con respecto a un marco de referencia común. El momento del ladrillo con respecto a algún observador y el momento del grano de arena con respecto al ladrillo no se suman.

He usado "mecánica newtoniana" varias veces. El concepto newtoniano de momento como el producto de masa y velocidad falla cuando las cosas se mueven muy rápido. En el contexto de la relatividad especial, es el momento relativista en lugar del momento newtoniano el que es aditivo (y una vez más, el concepto de un marco de referencia común es muy aplicable).

En el contexto de la relatividad general, incluso sumar momentos relativistas no tiene mucho sentido. Preguntar sobre el momento total de la galaxia de Andrómeda y una galaxia extremadamente remota es un poco insensato en el contexto de la relatividad general.

Answer 2

Su pregunta, en este momento, me parece confusa. Una propiedad extensiva de un sistema es aquella que escala con el tamaño del sistema. Una propiedad intensiva es independiente del tamaño del sistema. Por ejemplo, consideremos un sistema $A_1$ con $N$ partículas en un volumen $V$, con una densidad $\rho=\frac{N}{V}$. Ahora, consideramos dos de estos sistemas por separado, $A_1$ y $A_2$, y los llamamos juntos $B$. Entonces, $B$ tiene un número total de $2N$ partículas, dentro de un volumen $2V$, con densidad $\rho=\frac{2N}{2V}=\frac{N}{V}.

Como vemos, 'duplicar el sistema' nos da el doble de partículas y el doble de volumen, pero la misma densidad. Esto muestra que el número de partículas y el volumen son cantidades extensivas, y la densidad es una cantidad intensiva. Ahora, piensa en una partícula en una caja rebotando a una velocidad $v$. Considera dos sistemas así, y tendrás dos cajas con una partícula, cada una con velocidad $v. Claramente, la velocidad de cada partícula no se ve afectada por nuestro experimento absurdo, por lo que claramente no es una propiedad extensiva.

¿Podemos decir ahora que la velocidad de la partícula es una propiedad intensiva? Realmente no. Las nociones de intensivo y extensivo surgen en la termodinámica, donde son útiles para agrupar ciertas propiedades de los sistemas según escalen o no con el tamaño del sistema. En termodinámica, usualmente se consideran sistemas que son una (gran) colección de partículas individuales, de manera que se pueden discutir cosas como la temperatura y otras nociones que realmente no tienen sentido a nivel microscópico.

Si se considera una gran colección de partículas, entonces la velocidad de una sola partícula realmente no es una propiedad del sistema. El objetivo principal de la termodinámica es entender el comportamiento de los sistemas grandes sin discutir los detalles de lo que está ocurriendo con cada uno de los constituyentes individuales. Por lo tanto, la velocidad de una sola partícula no se considera usualmente una propiedad del sistema para empezar, por lo que no puede ser ni intensiva ni extensiva. Espero que esto aclare un poco las cosas.

Sin embargo, en otros contextos, por supuesto que tiene sentido sumar velocidades, por ejemplo, en la mecánica newtoniana o en la teoría de la relatividad especial.

Answer 3

Teniendo en cuenta las respuestas y comentarios, mi propia conclusión actual es que la velocidad es una propiedad intensiva, siempre y cuando el sistema considerado sea homogéneo, al menos en lo que respecta a la velocidad. Al igual que otras propiedades intensivas, esto puede depender de la escala y dejar de tener sentido a nivel molecular.

No pretendía escribir una respuesta a mi propia pregunta, pero ... escribir la pregunta suele ser una buena manera de entender mejor el problema y encontrar la respuesta. Podría haber añadido esto a la pregunta, ya que quedan problemas pendientes al final. Pero la pregunta ya es larga, y esto también lo es. Por lo tanto, parecía mejor hacerlo de esta manera.

Inicialmente consideré la velocidad como una razón porque la conozco como la razón de una distancia a un tiempo. Pero eso fue mucho sin pensar y es la forma incorrecta de verlo, especialmente porque no sé muy bien qué pueden ser la distancia y el tiempo. De hecho, me quedé con la velocidad, o mejor dicho, la velocidad, cuando me di cuenta de que no vería el significado de añadir muchas velocidades, que era una variante de mi problema original de base de datos.

Pero luego me di cuenta de que la velocidad es una razón de una manera diferente: $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{P}/M$, es decir, la velocidad es la ratio del momento (vector) por la masa.

Y luego, la respuesta de David Hammen me recordó a tiempo que el momento es aditivo en la mecánica newtoniana, al considerar el movimiento de varios cuerpos en el mismo marco, y también que la velocidad no lo es ... lo que confirma que, si acaso, no es extensiva.

De hecho, si tomo la respuesta de Nathaniel a otra pregunta, así como la definición del Libro Verde de la IUPAC, recordada en la página de Wikipedia, la aditividad es lo que caracteriza una propiedad extensiva. Debo entonces concluir que el momento (lineal) es una propiedad extensiva, y la velocidad no lo es.

El mismo razonamiento y conclusión se aplica a la masa (esto parece estar generalmente acordado :-).

Dado que la velocidad es la ratio del vector momento por la masa, se deduce que la velocidad debe ser una propiedad intensiva de un sistema.

Esto justifica que la velocidad (o velocidad) no sea aditiva, en el sentido de que no se puede formar un sistema grande a partir de partes más pequeñas, y sumar las velocidades de las partes para obtener la velocidad del todo.

Pero esta conclusión contradice la opinión de David Hammen de que la velocidad no es intensiva, aunque él no dice realmente por qué, y yo no veo por qué su fórmula para la velocidad del centro de masa debería ser un problema.

Sin embargo, creo que un requisito (indicado solo en ejemplos, pero no en definiciones en los documentos que tengo) es que las propiedades intensivas solo tengan sentido en sistemas homogéneos en equilibrio (lo cual fue confirmado justamente por el comentario de CuriousOne). Con respecto a la velocidad, eso significaría que solo puede aplicar cuando el sistema considerado sea homogéneo en velocidad, o se mezcle de alguna manera en un sistema homogéneo único. Quizás podría aplicarse a la colisión de nubes de gas en el espacio, o de gotas de agua en gravedad cero (en una nave espacial). Probablemente hay otros ejemplos de fluidos que pueden fusionarse y equilibrar el momento para alcanzar el equilibrio, sin desintegrarse.

Eso debería hacer que la velocidad sea una propiedad intensiva.

Las velocidades pueden sumarse al considerar velocidades relativas de diferentes sistemas entre sí. Pero esa es una situación completamente diferente, y no tiene nada que ver con fusionar varios sistemas en un sistema único, y "combinar" adecuadamente sus velocidades. Es poco probable que alguien intente sumar un gran número de velocidades, como uno podría sumar muchos momentos al tener un gran número de cuerpos fusionados en un sistema único.

En la discusión anterior he estado considerando gotas o nubes de fluido como ejemplo, ya que parece necesario poder hablar de fusionar dos sistemas. Sin embargo, no hay necesidad de tal restricción cuando solo se considera un sistema, digamos una piedra o un cubo de hierro. Si la velocidad como propiedad intensiva tiene sentido en absoluto, lo hace para cualquier sistema homogéneo en velocidad, y eso ciertamente se aplica a un sólido.

Cuando se consideran velocidades relativistas, no hay razón para que la pregunta pierda su significado. Una supernova puede expulsar nubes de material al 10% de la velocidad de la luz, lo que puede considerarse una velocidad relativista ya que corresponde a una discrepancia del 1% entre la mecánica newtoniana y la relativista. Supongo que una nube así, o parte de ella, podría chocar con otra nube y fusionarse con ella en una nube última y homogénea (pero no tengo experiencia en tales fenómenos). El penúltimo párrafo de la respuesta de David Hammen, así como el comentario de Void, parecen indicar que las cosas todavía funcionan a velocidad relativista, siempre que se utilicen las propiedades adecuadas (como el momento relativista según David Hammen, o el cuadrimomento y la cuadri-velocidad según Void).

Por último, un comentario apoyado por leftaroundabout sugiere que "intensivo vs. extensivo solo tiene sentido para cantidades escalares verdaderas", pero sin más justificación. Me pregunto por qué debería ser así. Además, esto parece estar en desacuerdo con la página de Wikipedia que lista la magnetización como una propiedad intensiva. Pero la magnetización es un campo vectorial.

De manera similar, entiendo la respuesta de Danu de que los conceptos de propiedades intensivas y extensivas fueron desarrollados como herramientas útiles para estudiar la termodinámica (leí un poco antes de hacer mi pregunta). Pero según la página de Wikipedia, ya se utilizan en otros contextos, y no veo por qué eso debería excluir considerar la velocidad, cuando estadísticamente es homogénea, como expliqué anteriormente.

Answer 4

Aquí hay un punto de vista de la termodinámica que puede ser útil.

Típicamente, las cantidades intensivas (en la forma en que generalmente se definen) surgen como derivadas de la energía total (interna) $U$ por alguna cantidad extensiva particular. Así:

• Temperatura $T=\frac{\partial U}{\partial S}$, la derivada con respecto a la entropía

• Presión $P=-\frac{\partial U}{\partial V}$, la derivada con respecto al volumen (con la convención de signo opuesto a las otras cantidades, pero esto no es importante)

• Potencial químico $\mu_i=\frac{\partial U}{\partial N_i}$, la derivada con respecto al número de partículas de una especie dada

• Potencial eléctrico $\phi=\frac{\partial U}{\partial Q}$, la derivada con respecto a la carga

y así sucesivamente. Estos se pueden resumir como la "ecuación fundamental de la termodinámica:

$$ dU = TdS - PdV + \sum_i \mu_i dN_i + \dots $$

Ahora, la pregunta es, ¿podemos agregar un término en estas líneas que involucre la velocidad, o más bien la velocidad? La respuesta es sí, porque

$$ v_x = \frac{\partial U}{\partial p_x}, $$

donde $v_x$ es la componente de la velocidad de una partícula en la dirección $x$, y $p_x$ es la componente $x$ de su momento. Ecuaciones similares se aplican para las direcciones $y$ y $z`, por supuesto.

La ecuación anterior es bastante general, y se aplica en situaciones relativistas. Sin embargo, si nos limitamos a una partícula newtoniana simple en una dimensión, para la cual $U = V(x) + \frac{1}{2}mv^2$ (donde $V(x)$ es la energía potencial), entonces es fácil ver que es cierto en este caso especial, ya que podemos reescribir la energía como $V(x) + \frac{1}{2m}p^2$.

Por lo tanto, si la situación lo requiere, podemos agregar un término $vdp$ a la ecuación fundamental de la termodinámica, y así la velocidad (en alguna dirección) puede ser vista como la cantidad intensiva correspondiente al momento en la misma dirección, que es extensivo. (Nota que tiene sentido agregar, en lugar de promediar, los momentos de miles de partículas).

De hecho, esto se hace a menudo cuando se aplica la termodinámica no equilibrada a la mecánica de fluidos, y a la dinámica atmosférica en particular. La diferencia en las velocidades horizontales entre el viento predominante y la superficie terrestre estacionaria puede verse como la fuerza impulsora que causa un flujo de momento (horizontal) hacia abajo desde la atmósfera hacia la Tierra, lo que lleva a una pequeña cantidad de calentamiento por fricción. Esto es exactamente análogo a la forma en que una diferencia de temperaturas impulsa un flujo de calor, o una diferencia en potenciales eléctricos impulsa un flujo de electrones.

Answer 5

Esta es una pregunta muy interesante. La velocidad se puede considerar como una propiedad intensiva o extensiva, dependiendo de si estamos investigando las partes de un solo sistema o considerando relaciones entre sistemas separados.

La velocidad debe ser una propiedad intensiva, ya que considera: Si mi pasajero y yo y mis libros estamos viajando en mi automóvil, y si mi automóvil tiene la propiedad de moverse a 60 mph con respecto a un observador que descansa en el lado de la carretera, entonces no solo comparto esa propiedad, sino también mi pasajero, cada uno de mis libros y cada partícula elemental en ese automóvil. Por lo tanto, la velocidad del automóvil es una propiedad intensiva con respecto a todas las partes de mi automóvil.

La velocidad del automóvil no cambiará si arrojo uno de mis libros por la ventana, aunque su impulso cambiará, especialmente si resulta ser un libro pesado, como "Gravitation" de J. A. Wheeler. Mientras que la velocidad es intensiva, el impulso es extensivo.

La pregunta inicial parece abordar el problema de sumar las velocidades de sistemas separados (de pasajeros, libros, partículas, etc.) Supongamos que lanzo mi libro por la ventana de mi automóvil (que va a 60 mph) y cae en la cama de un camión que pasa a toda velocidad en la misma dirección a 40 mph. Ahora mi libro va a 100 mph con respecto al observador en reposo. Si mi desafortunado libro luego rebota de la cama del camión y cae en un tren que va a 180 mph (con respecto al observador en reposo) en dirección opuesta, entonces mi libro viaja a -240 mph en relación conmigo y mi pasajero.

Podemos ver mi libro rebotar entre sistemas en movimiento distintos que se mueven a diferentes velocidades (a lo largo de la misma dimensión con respecto al observador en reposo) todo el día. Por lo tanto, la velocidad es una propiedad extensiva con respecto a sistemas separados.

Ahora aquí hay otra pregunta interesante: ¿Cómo limita la velocidad de la luz la suma de velocidades de sistemas separados?