¿Son las álgebras C* conmutativas realmente duales a los espacios Hausdorff localmente compactos?

Question

Varias fuentes en línea (por ejemplo Wikipedia El nLab ) afirman que la representación de Gelfand define una equivalencia contravariante a partir de la categoría de las conmutativas (no universales) $C^{\ast}$ -a la categoría de espacios Hausdorff localmente compactos (LCH). Esto me parece erróneo.

La opción ingenua es tomar todos los mapas continuos entre espacios LCH. Esto no funciona. Por ejemplo, el mapa constante $\mathbb{R} \to \bullet$ no proviene de un morfismo $\mathbb{C} \to C_0(\mathbb{R})$ El problema es que al componer con el mapa $\bullet \to \mathbb{C}$ enviando $\bullet$ a $1$ da una función sobre $\mathbb{R}$ que no desaparece en el infinito. Es necesario que limitemos nuestra atención a mapas adecuados .

Pero esto sigue sin funcionar. Si $A, B$ son cualquier conmutativo $C^{\ast}$ -podemos considerar el morfismo $$A \ni a \mapsto (a, 0) \in A \times B.$$

Este morfismo no define un mapa sobre los espectros de Gelfand; si $\lambda : A \times B \to \mathbb{C}$ es un carácter que se factoriza a través de la proyección $A \times B \to B$ entonces componiendo con el morfismo anterior se obtiene el mapa cero $A \to \mathbb{C}$ . Esto contradice a los nLab's reclamar que tomando los espectros de Gelfand se obtiene un functor hacia espacios de Hausdorff localmente compactos (si se requiere que los morfismos estén definidos en todas partes en la última categoría).

La afirmación correcta parece ser que la conmutativa $C^{\ast}$ -son contravariantemente equivalentes a la categoría $\text{CHaus}_{\bullet}$ de espacios Hausdorff compactos y puntiagudos; el functor lleva un álgebra al espectro de Gelfand de su unitización (adjuntamos una unidad tanto si el álgebra ya tenía una como si no). Existe una inclusión de la categoría de espacios LCH y mapas propios en esta categoría, pero no es una equivalencia porque los mapas $(C, \bullet) \to (D, \bullet)$ en $\text{CHaus}_{\bullet}$ puede enviar puntos distintos del punto distinguido de $C$ al punto distinguido de $D$ .

Entonces, ¿se refieren las fuentes a otra cosa cuando afirman la equivalencia con los espacios Hausdorff localmente compactos?

Answer 1

Es cierto que la categoría de los espacios de Hausdorff localmente compactos es equivalente a la categoría de los espacios conmutativos $C^*$ -algebras . . . con morfismos adecuadamente elegidos .

Dejemos que $A$ y $B$ sea conmutativo $C^*$ -algebras. Entonces, a morfismo de $A$ a $B$ se define como un homomorfismo no degenerado de $^*$ -de las álgebras de $\phi :A\rightarrow M(B)$ , donde $M(B)$ es el álgebra multiplicadora de $B$ . En este caso, la no degeneración significa que el tramo de $\left\{ \pi (a)b:a\in A,b\in M(B)\right\}$ es denso en $M(B)$ . Hay que tener en cuenta que se necesita un poco de maquinaria para que esto se convierta en una categoría porque no es obvio a priori esa composición tiene sentido. Sin embargo, sí lo tiene. La proposición 1 de la página 11 y el teorema 2 de la página 12 de Supercuerdas, Geometría, Topología y $C^*$ -algebras (de hecho este capítulo es en el arXiv ) demuestran, respectivamente, que esto forma una categoría y que el dual de esta categoría es equivalente a la categoría de espacios de Hausdorff localmente compactos.

Answer 2

Las siguientes categorías son contravariantemente equivalentes:

• espacios Hausdorff localmente compactos con mapas continuos adecuados
• C conmutativo $^*$ -con álgebras no degeneradas $*$ -homorfismos

Aquí, un $*$ -homorfismo $f : A \to B$ es no degenerado si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:

1. El ideal generado por la imagen teórica del conjunto de $f$ es denso en $B$ .
2. Para cada unidad aproximada $(u_i)$ en $A$ su imagen $f(u_i)$ es una unidad aproximada en $B$ .
3. Para alguna unidad aproximada $(u_i)$ en $A$ su imagen $f(u_i)$ es una unidad aproximada en $B$ .

No creo que las álgebras multiplicadoras sean necesarias...

Answer 3

Así que, en aras de tener una respuesta escrita a esta pregunta: como dice t.b. en los comentarios, simplemente no tenemos esta dualidad tal y como se plantea.

Answer 4

En los años 50 se reconoció que si se quiere una teoría de la dualidad para espacios más generales que los compactos, hay que ir más allá de la categoría de espacios de Banach. En el contexto de una dualidad lineal para espacios localmente compactos (generalizando el teorema de representación de Riesz), R.C. Buck introdujo la topología estricta. Posteriormente, varios autores la extendieron al caso completamente regular, por ejemplo, utilizando las técnicas de las topologías mixtas y los espacios de Saks, desarrolladas por la escuela polaca. En este contexto, la dualidad Gelfand-Naimark también puede extenderse y en el libro _Espacios de Saks y aplicaciones al análisis funcional_ una clase de las llamadas álgebras de Saks (véase, por ejemplo estas notas ) fue identificado como el dual de la categoría de espacios localmente compactos. En el lenguaje de la teoría de las categorías, esto proporciona una representación concreta de la categoría opuesta a la de los espacios localmente compactos (con mapeos continuos como morfismos) extendiendo la célebre dualidad entre espacios compactos y conmutativos $C^*$ -algebras con unidad.

Answer 5

La respuesta negativa anterior significa que para obtener una teoría de la dualidad para espacios localmente compactos hay que salir de las categorías de espacios o álgebras de Banach. Este problema ha sido reconocido y abordado desde hace tiempo, inicialmente por Beurling, Herz y Buck en el contexto del análisis armónico (síntesis espectral) y el teorema de representación de Riesz. La topología adecuada en el espacio de las funciones continuas acotadas se denominó topología estricta. En los años sesenta, varios autores la extendieron al caso de los espacios completamente regulares. Una aproximación sistemática a estos temas puede encontrarse en el libro "Saks spaces and Applications to Functional Analysis".